Состояние графика - Graph state

В квантовые вычисления, а состояние графика это особый тип мульти-кубит состояние, которое может быть представлено график. Каждый кубит представлен вершина графа, и между каждой взаимодействующей парой кубитов есть ребро. В частности, они являются удобным способом представления определенных типов запутанный состояния.

Состояния графиков полезны в квантовые коды исправления ошибок, измерение и очистка запутанности, а также для характеристики вычислительных ресурсов в моделях квантовых вычислений, основанных на измерениях.

Формальное определение

Учитывая график грамм = (V, E), с набором вершины V и набор края E, соответствующее состояние графа определяется как

${\displaystyle {\left|G\right\rangle }=\prod _{(a,b)\in E}U^{\{a,b\}}{\left|+\right\rangle }^{\otimes V}}$

куда ${\displaystyle {\left|+\right\rangle }=({\left|0\right\rangle }+{\left|1\right\rangle })/{\sqrt {2}}}$ и оператор ${\displaystyle U^{\{a,b\}}}$ это контролируемыйZ взаимодействие между двумя вершинами (кубитами) а, б

${\displaystyle U^{\{a,b\}}=\left[{\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{-1}\end{array}}\right]}$

Альтернативное определение

Альтернативное и эквивалентное определение следующее.

Определить оператора ${\displaystyle S_{v}}$ для каждой вершины v из грамм:

${\displaystyle S_{v}=\sigma _{x}^{(v)}\prod _{u\in N(v)}\sigma _{z}^{(u)}}$

куда ${\displaystyle \sigma _{x,y,z}}$ являются Матрицы Паули и N(v) - множество вершин, смежных с v. В ${\displaystyle S_{v}}$ операторы коммутируют. Состояние графа ${\displaystyle {\left|G\right\rangle }}$ определяется как одновременное ${\displaystyle +1}$-собственное значение собственное состояние ${\displaystyle \left|V\right|}$ операторы ${\displaystyle \left\{S_{v}\right\}_{v\in V}}$:

${\displaystyle S_{v}{\left|G\right\rangle }={\left|G\right\rangle }}$

Примеры

• Если ${\displaystyle G=P_{3}}$ является трехвершинным дорожка, то ${\displaystyle S_{v}}$ стабилизаторы

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes I,\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{x}\otimes \sigma _{z},\\I\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{x}\end{aligned}}}$

Соответствующее квантовое состояние есть

${\displaystyle {\left|P_{3}\right\rangle }={\frac {1}{\sqrt {8}}}({\left|000\right\rangle }+{\left|100\right\rangle }+{\left|010\right\rangle }-{\left|110\right\rangle }+{\left|001\right\rangle }+{\left|101\right\rangle }-{\left|011\right\rangle }+{\left|111\right\rangle })}$

• Если ${\displaystyle G=K_{3}}$ это треугольник на трех вершинах, то ${\displaystyle S_{v}}$ стабилизаторы

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{z},\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{x}\otimes \sigma _{z},\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{x}\end{aligned}}}$

Соответствующее квантовое состояние есть

${\displaystyle {\left|K_{3}\right\rangle }={\frac {1}{\sqrt {8}}}({\left|000\right\rangle }+{\left|100\right\rangle }+{\left|010\right\rangle }-{\left|110\right\rangle }+{\left|001\right\rangle }-{\left|101\right\rangle }-{\left|011\right\rangle }-{\left|111\right\rangle })}$

Заметьте, что ${\displaystyle {\left|P_{3}\right\rangle }}$ и ${\displaystyle {\left|K_{3}\right\rangle }}$ локально эквивалентны друг другу, т. е. могут отображаться друг в друга с помощью однокубитных унитаров. Действительно, переключение ${\displaystyle \sigma _{x}}$ и ${\displaystyle \sigma _{y}}$ на первом и последнем кубитах, при переключении ${\displaystyle \sigma _{y}}$ и ${\displaystyle \sigma _{z}}$ на среднем кубите отображает группу стабилизаторов одного в группу другого.

В более общем смысле, два состояния графа локально эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие графы связаны последовательностью так называемых шагов «локального дополнения», как показано Ван ден Нестом и др. (2005).

Смотрите также

• Запутанность
• Состояние кластера

Рекомендации

• М. Хайн; J. Eisert; Х. Дж. Бригель (2004). «Многосторонняя запутанность в состояниях графа». Физический обзор A. 69: 062311. arXiv:Quant-ph / 0307130. Bibcode:2004PhRvA..69f2311H. Дои:10.1103 / PhysRevA.69.062311.
• С. Андерс; Х. Дж. Бригель (2006). «Быстрое моделирование схем стабилизатора с использованием графического представления». Физический обзор A. 73: 022334. arXiv:Quant-ph / 0504117. Bibcode:2006PhRvA..73b2334A. Дои:10.1103 / PhysRevA.73.022334.
• М. Ван ден Нест; J. Dehaene; Б. Де Моор (2005). «Локальная унитарная против локальной эквивалентности Клиффорда состояний стабилизатора». Физический обзор A. 71: 062323. arXiv:Quant-ph / 0411115. Bibcode:2005ПхРвА..71ф2323В. Дои:10.1103 / PhysRevA.71.062323.
• Состояния графиков на arxiv.org