Матрица зелени - Greens matrix - Wikipedia

В математика, и в частности обыкновенные дифференциальные уравнения, а Матрица Грина помогает найти частное решение неоднородной линейной системы ОДУ первого порядка. Концепция названа в честь Джордж Грин.

Например, рассмотрим ${\displaystyle x'=A(t)x+g(t)\,}$ куда ${\displaystyle x\,}$ вектор и ${\displaystyle A(t)\,}$ является ${\displaystyle n\times n\,}$ матричная функция ${\displaystyle t\,}$, которая непрерывна при ${\displaystyle t\in I,a\leq t\leq b\,}$, куда ${\displaystyle I\,}$ это некоторый интервал.

Теперь позвольте ${\displaystyle x^{1}(t),\ldots ,x^{n}(t)\,}$ быть ${\displaystyle n\,}$ линейно независимые решения однородного уравнения ${\displaystyle x'=A(t)x\,}$ и расположите их по столбцам, чтобы сформировать фундаментальную матрицу:

${\displaystyle X(t)=\left[x^{1}(t),\ldots ,x^{n}(t)\right].\,}$

Сейчас же ${\displaystyle X(t)\,}$ является ${\displaystyle n\times n\,}$ матричное решение ${\displaystyle X'=AX\,}$.

Эта фундаментальная матрица предоставит однородное решение, а если добавить к частному решению, даст общее решение неоднородного уравнения.

Позволять ${\displaystyle x=Xy\,}$ быть общим решением. Сейчас же,

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=X'y+Xy'\\&=AXy+Xy'\\&=Ax+Xy'.\end{aligned}}}$

Из этого следует ${\displaystyle Xy'=g\,}$ или же ${\displaystyle y=c+\int _{a}^{t}X^{-1}(s)g(s)\,ds\,}$ куда ${\displaystyle c\,}$ - произвольный постоянный вектор.

Теперь общее решение ${\displaystyle x=X(t)c+X(t)\int _{a}^{t}X^{-1}(s)g(s)\,ds.\,}$

Первый член - это однородное решение, а второй - частное решение.

Теперь определим матрицу Грина ${\displaystyle G_{0}(t,s)={\begin{cases}0&t\leq s\leq b\\X(t)X^{-1}(s)&a\leq s<t.\end{cases}}\,}$

Теперь можно написать конкретное решение ${\displaystyle x_{p}(t)=\int _{a}^{b}G_{0}(t,s)g(s)\,ds.\,}$

внешняя ссылка

• Пример решения неоднородной системы линейных ОДУ и нахождения матрицы Грина на сайте www.exampleproblems.com.