Гипотезы Гринберга - Greenbergs conjectures - Wikipedia

Гипотеза Гринберга одна из двух гипотез в алгебраическая теория чисел предложено Ральф Гринберг. По состоянию на 2020 год оба вопроса все еще не решены.

Гипотеза инвариантов

Первая гипотеза была выдвинута в 1976 г. и касается Ивасава инварианты. Эта гипотеза связана с Гипотеза Вандивера, Гипотеза Леопольдта, Гипотеза Берча – Тейта, все из которых также нерешены.

Гипотеза, также называемая Гипотеза инвариантов Гринберга, впервые появился у Гринберга Университет Принстона Тезис 1971 г. и первоначально заявил, что, предполагая, что ${\displaystyle F}$ это поле полностью действительных чисел и это ${\displaystyle F_{\infty }/F}$ циклотомический ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-расширение, ${\displaystyle \lambda (F_{\infty }/F)=\mu (F_{\infty }/F)=0}$, т.е. мощность ${\displaystyle p}$ деление количества классов ${\displaystyle F_{n}}$ ограничено как ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. Обратите внимание, что если Гипотеза Леопольдта относится к ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle p}$, единственный ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-расширение ${\displaystyle F}$ циклотомический (поскольку он вполне реален).

В 1976 году Гринберг расширил гипотезу, предоставив для нее больше примеров и слегка переформулировал ее следующим образом: учитывая, что ${\displaystyle k}$ является конечным расширением ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ и это ${\displaystyle \ell }$ фиксированное простое число с учетом подполей цикломтомических расширений ${\displaystyle k}$, можно определить башню числовых полей${\displaystyle k=k_{0}\subset k_{1}\subset k_{2}\subset \cdots \subset k_{n}\subset \cdots }$ такой, что ${\displaystyle k_{n}}$ является циклическим расширением ${\displaystyle k}$ степени ${\displaystyle \ell ^{n}}$. Если ${\displaystyle k}$ совершенно реально, это сила${\displaystyle l}$ деление количества классов ${\displaystyle k_{n}}$ ограничен как ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$? Сейчас если ${\displaystyle k}$ - произвольное числовое поле, то существуют целые числа ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$ такая, что сила ${\displaystyle \ell }$ деление количества классов ${\displaystyle k_{n}}$ является ${\displaystyle \ell ^{e_{n}}}$, куда ${\displaystyle e_{n}={\lambda }n+\mu ^{\ell _{n}}+\nu }$ для всех достаточно больших ${\displaystyle n}$. Целые числа ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \nu }$ зависеть только от ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle \ell }$. Затем мы спрашиваем: есть ли ${\displaystyle \lambda =\mu =0}$ за ${\displaystyle k}$ полностью реальный?

Проще говоря, гипотеза спрашивает, есть ли у нас ${\displaystyle \mu _{\ell }(k)=\lambda _{\ell }(k)=0}$ для любого полностью действительного числового поля ${\displaystyle k}$ и любое простое число ${\displaystyle \ell }$, или гипотезу также можно переформулировать, задав вопрос, являются ли оба инварианта λ и µ связанные с круговоротом ${\displaystyle Z_{p}}$-расширение поля вполне вещественных чисел обращается в нуль.

В 2001 году Гринберг обобщил эту гипотезу (таким образом, сделав ее известной как Псевдо-нулевая гипотеза Гринберга или, иногда, как Обобщенная гипотеза Гринберга):

Предполагая, что ${\displaystyle F}$ является полностью действительным числовым полем и что ${\displaystyle p}$ простое число, пусть ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ обозначают совокупность всех ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-расширения ${\displaystyle F}$. Позволять ${\displaystyle {\tilde {L}}}$ обозначают про-${\displaystyle p}$ Поле классов Гильберта из ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ и разреши ${\displaystyle {\tilde {L}}=\operatorname {Gal} ({\tilde {F}}/{\tilde {L}})}$, рассматриваемый как модуль над кольцом ${\displaystyle {\tilde {\Lambda }}={\mathbb {Z} _{p}}[[\operatorname {Gal} ({\tilde {F}}/F)]]}$. потом ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ псевдо-нуль ${\displaystyle {\tilde {\Lambda }}}$-модуль.

Возможная переформулировка: Пусть ${\displaystyle {\tilde {k}}}$ быть составной частью всех ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-расширения ${\displaystyle k}$ и разреши ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\tilde {k}}/k)\simeq \mathbb {Z} _{p}^{n}}$, тогда ${\displaystyle Y_{\tilde {k}}}$ псевдо-нуль ${\displaystyle \Lambda _{n}}$-модуль.

Существует еще одна связанная гипотеза (также пока не решенная):

У нас есть ${\displaystyle \mu _{\ell }(k)=0}$ для любого числового поля ${\displaystyle k}$ и любое простое число ${\displaystyle \ell }$.

Это родственное предположение было обосновано Брюсом Ферреро и Ларри Вашингтон, оба из которых доказали (см .: Теорема Ферреро – Вашингтона ) который ${\displaystyle \mu _{\ell }(k)=0}$ для любого абелевого расширения ${\displaystyle k}$ поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ и любое простое число ${\displaystyle \ell }$.

п-гипотеза рациональности

Еще одна гипотеза, которую можно назвать Гипотеза Гринберга, был предложен Гринбергом в 2016 году и известен как Гринберга ${\displaystyle p}$-гипотеза рациональности который утверждает, что для любого нечетного простого числа ${\displaystyle p}$ и для любого ${\displaystyle t}$, существует ${\displaystyle p}$-рациональное поле ${\displaystyle K}$ такой, что ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /\mathbb {2Z} )^{t}}$. Эта гипотеза связана с Обратная задача Галуа.

дальнейшее чтение

• Р. Гринберг, О некоторых вопросах, касающихся инвариантов Ивасавы, Диссертация Принстонского университета (1971)
• Р. Гринберг, "Об инвариантах Ивасавы вполне вещественных числовых полей", Американский журнал математики, выпуск 98 (1976), стр. 263–284
• Р. Гринберг, "Теория Ивасавы - прошлое и настоящее", Углубленное изучение чистой математики, выпуск 30 (2001), стр. 335–385
• Р. Гринберг, "Представления Галуа с открытым изображением", Математические Анналы Квебека, том 40, номер 1 (2016), стр. 83–119
• Б. Ферреро и Л. К. Вашингтон, "Инвариант Ивасавы". ${\displaystyle \mu _{p}}$ Исчезает для абелевых числовых полей », Анналы математики (Вторая серия), том 109, номер 2 (май 1979 г.), стр. 377–395