Неравенство гриффитса - Griffiths inequality

В статистическая механика, то Неравенство гриффитса, иногда также называемый Неравенство Гриффитса – Келли – Шермана. или же Неравенство ГКС, названный в честь Роберт Б. Гриффитс, это корреляционное неравенство за ферромагнитный спиновые системы. Неформально это говорит, что в ферромагнитных спиновых системах, если «априорное распределение» спина инвариантно относительно переворота спина, корреляция любого монома спинов неотрицательна; а двухточечная корреляция двух одночленов спинов неотрицательна.

Неравенство было доказано Гриффитсом для изинговских ферромагнетиков с двухчастичным взаимодействием:^[1] затем обобщены Келли и Шерманом на взаимодействия, включающие произвольное количество спинов,^[2] а затем Гриффитсом к системам с произвольными спинами.^[3] Более общая формулировка была дана Ginibre,^[4] и теперь называется Неравенство Жинибре.

Определения

Позволять ${\displaystyle \textstyle \sigma =\{\sigma _{j}\}_{j\in \Lambda }}$ - конфигурация спинов (непрерывных или дискретных) на решетка Λ. Если А ⊂ Λ список узлов решетки, возможно, с дубликатами, пусть ${\displaystyle \textstyle \sigma _{A}=\prod _{j\in A}\sigma _{j}}$ быть продуктом вращений в А.

Назначьте априори мера dμ (σ) на спинах; пусть ЧАС быть энергетическим функционалом вида

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{A}J_{A}\sigma _{A}~,}$

где сумма по спискам сайтов А, и разреши

${\displaystyle Z=\int d\mu (\sigma )e^{-H(\sigma )}}$

быть функция распределения. Как обычно,

${\displaystyle \langle \cdot \rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{\sigma }\cdot (\sigma )e^{-H(\sigma )}}$

стоит за средний по ансамблю.

Система называется ферромагнитный если для любого списка сайтов А, J_А ≥ 0. Система называется инвариантен относительно переворота спина если для любого j в Λ, мера μ сохраняется под знаком переворачивания карты σ → τ, куда

${\displaystyle \tau _{k}={\begin{cases}\sigma _{k},&k\neq j,\\-\sigma _{k},&k=j.\end{cases}}}$

Заявление о неравенствах

Неравенство Ферста Гриффитса

В ферромагнитной спиновой системе, инвариантной относительно переворота спина,

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle \geq 0}$

для любого списка вращений А.

Второе неравенство Гриффитса

В ферромагнитной спиновой системе, инвариантной относительно переворота спина,

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle }$

для любых списков спинов А и B.

Первое неравенство является частным случаем второго, соответствующего B = ∅.

Доказательство

Обратите внимание, что статистическая сумма неотрицательна по определению.

Доказательство первого неравенства: Расширять

${\displaystyle e^{-H(\sigma )}=\prod _{B}\sum _{k\geq 0}{\frac {J_{B}^{k}\sigma _{B}^{k}}{k!}}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,}$

тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}Z\langle \sigma _{A}\rangle &=\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}e^{-H(\sigma )}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\\&=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\prod _{j\in \Lambda }\sigma _{j}^{n_{A}(j)+n_{B}(j)}~,\end{aligned}}}$

куда п_А(j) означает, сколько раз j появляется в А. Теперь, благодаря инвариантности относительно переворота спина,

${\displaystyle \int d\mu (\sigma )\prod _{j}\sigma _{j}^{n(j)}=0}$

если хотя бы один п (к) нечетно, и это же выражение, очевидно, неотрицательно для четных значений п. Следовательно, Z<σ_А> ≥0, следовательно, и <σ_А>≥0.

Доказательство второго неравенства. Для второго неравенства Гриффитса удвойте случайную величину, т. Е. Рассмотрите вторую копию спина, ${\displaystyle \sigma '}$, с таким же распределением ${\displaystyle \sigma }$. потом

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle =\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.}$

Представьте новые переменные

${\displaystyle \sigma _{j}=\tau _{j}+\tau _{j}'~,\qquad \sigma '_{j}=\tau _{j}-\tau _{j}'~.}$

Двойная система ${\displaystyle \langle \langle \;\cdot \;\rangle \rangle }$ ферромагнитен в ${\displaystyle \tau ,\tau '}$ потому что ${\displaystyle -H(\sigma )-H(\sigma ')}$ является многочленом от ${\displaystyle \tau ,\tau '}$ с положительными коэффициентами

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{A}J_{A}(\sigma _{A}+\sigma '_{A})&=\sum _{A}J_{A}\sum _{X\subset A}\left[1+(-1)^{|X|}\right]\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end{aligned}}}$

Помимо меры по ${\displaystyle \tau ,\tau '}$ инвариантен относительно переворота спина, потому что ${\displaystyle d\mu (\sigma )d\mu (\sigma ')}$ является. Наконец, одночлены ${\displaystyle \sigma _{A}}$, ${\displaystyle \sigma _{B}-\sigma '_{B}}$ являются многочленами от ${\displaystyle \tau ,\tau '}$ с положительными коэффициентами

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{A}&=\sum _{X\subset A}\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}~,\\\sigma _{B}-\sigma '_{B}&=\sum _{X\subset B}\left[1-(-1)^{|X|}\right]\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{aligned}}}$

Первое неравенство Гриффитса, примененное к ${\displaystyle \langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle }$ дает результат.

Более подробная информация в ^[5] и.^[6]

Расширение: неравенство Жинибре.

В Неравенство Жинибре является расширением, найденным Жаном Жинибром,^[4] неравенства Гриффитса.

Формулировка

Пусть (Γ,μ) быть вероятностное пространство. Для функций ж, час на Γ обозначим

${\displaystyle \langle f\rangle _{h}=\int f(x)e^{-h(x)}\,d\mu (x){\Big /}\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).}$

Позволять А быть набором реальных функций на Γ такой что. для каждого ж₁,ж₂,...,ж_п в А, и при любом выборе знаков ±,

${\displaystyle \iint d\mu (x)\,d\mu (y)\prod _{j=1}^{n}(f_{j}(x)\pm f_{j}(y))\geq 0.}$

Тогда для любого ж,грамм,−час в выпуклый конус создано А,

${\displaystyle \langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\geq 0.}$

Доказательство

Позволять

${\displaystyle Z_{h}=\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{h}^{2}\left(\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\right)\\&\qquad =\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y))e^{-h(x)-h(y)}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y)){\frac {(-h(x)-h(y))^{k}}{k!}}.\end{aligned}}}$

Теперь неравенство следует из предположения и тождества

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}(f(x)+f(y))+{\frac {1}{2}}(f(x)-f(y)).}$

Примеры

• Чтобы восстановить (второе) неравенство Гриффитса, возьмем Γ = {−1, +1}^Λ, где Λ - решетка, и пусть μ - мера на Γ, инвариантная относительно смены знака. Конус А многочленов с положительными коэффициентами удовлетворяет условиям неравенства Жинибра.
• (Γ,μ) это коммутативный компактная группа с Мера Хаара, А конус настоящего положительно определенные функции на Γ.
• Γ является полностью заказанный набор, А - конус вещественных положительных неубывающих функций на Γ. Это дает Неравенство сумм Чебышева. Для расширения до частично упорядоченных наборов см. Неравенство ФКГ.

Приложения

• В термодинамический предел корреляций ферромагнитной модели Изинга (с неотрицательным внешним полем час и свободные граничные условия) существует.

Это связано с тем, что увеличение объема аналогично включению новых муфт. J_B для определенного подмножества B. По второму неравенству Гриффитса

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial J_{B}}}\langle \sigma _{A}\rangle =\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle \geq 0}$

Следовательно ${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle }$ монотонно увеличивается с увеличением объема; то он сходится, так как ограничен единицей.

• Одномерная ферромагнитная модель Изинга с взаимодействиями ${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$ отображает фазовый переход, если ${\displaystyle 1<\alpha <2}$.

Это свойство может быть показано в иерархическом приближении, которое отличается от полной модели отсутствием некоторых взаимодействий: рассуждая, как указано выше, со вторым неравенством Гриффитса, результаты переносятся на всю модель.^[7]

• Неравенство Жинибре обеспечивает существование термодинамического предела для свободная энергия и спиновые корреляции для двумерных классическая XY модель.^[4] Кроме того, с помощью неравенства Жинибре Кунц и Пфистер доказали наличие фазового перехода для ферромагнитной XY-модели с взаимодействием ${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$ если ${\displaystyle 2<\alpha <4}$.
• Айзенман и Саймон^[8] использовали неравенство Жинибра, чтобы доказать, что двухточечная спиновая корреляция ферромагнитный классическая модель XY в размерности ${\displaystyle D}$, связь ${\displaystyle J>0}$ и обратная температура ${\displaystyle \beta }$ является преобладают по (т.е. имеет верхнюю границу, заданную) двухточечной корреляцией ферромагнитный Модель Изинга в измерении ${\displaystyle D}$, связь ${\displaystyle J>0}$, и обратная температура ${\displaystyle \beta /2}$

${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}$

Следовательно, критический ${\displaystyle \beta }$ модели XY не может быть меньше двойной критической температуры модели Изинга

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}~;}$

в измерении D = 2 и сцепление J = 1, это дает

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq \ln(1+{\sqrt {2}})\approx 0.88~.}$

• Существует вариант неравенства Жинибре для Кулоновский газ что подразумевает существование термодинамического предела корреляций.^[9]
• Другие приложения (фазовые переходы в спиновых системах, XY-модель, XYZ-квантовая цепочка) рассмотрены в.^[10]

Рекомендации

1. Гриффитс, Р. (1967). "Корреляции в ферромагнетиках Изинга. I". J. Math. Phys. 8 (3): 478–483. Дои:10.1063/1.1705219.
2. Келли, Д.Дж .; Шерман, С. (1968). «Неравенства генерала Гриффитса о корреляциях в ферромагнетиках Изинга». J. Math. Phys. 9 (3): 466–484. Дои:10.1063/1.1664600.
3. Гриффитс, Р. (1969). «Строгие результаты для изинговских ферромагнетиков произвольного спина». J. Math. Phys. 10 (9): 1559–1565. Дои:10.1063/1.1665005.
4. Жинибр, Дж. (1970). «Общая формулировка неравенств Гриффитса». Comm. Математика. Phys. 16 (4): 310–328. Дои:10.1007 / BF01646537. S2CID  120649586.
5. Глимм, Дж.; Яффе, А. (1987). Квантовая физика. Функциональная интегральная точка зрения. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-96476-2.
6. Фридли, С .; Веленик Ю. (2017). Статистическая механика решетчатых систем: конкретное математическое введение. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781107184824.
7. Дайсон, Ф.Дж. (1969). «Существование фазового перехода в одномерном ферромагнетике Изинга». Comm. Математика. Phys. 12 (2): 91–107. Дои:10.1007 / BF01645907. S2CID  122117175.
8. Айзенман, М.; Саймон, Б. (1980). «Сравнение ротора самолета и модели Изинга». Phys. Lett. А. 76 (3–4): 281–282. Дои:10.1016/0375-9601(80)90493-4.
9. Фрёлих, Дж.; Парк, Ю.М. (1978). «Корреляционные неравенства и термодинамический предел для классических и квантовых непрерывных систем». Comm. Математика. Phys. 59 (3): 235–266. Дои:10.1007 / BF01611505. S2CID  119758048.
10. Гриффитс, Р. (1972). «Строгие результаты и теоремы». В С. Домбе и М.С. Грин (ред.). Фазовые переходы и критические явления.. 1. Нью-Йорк: Academic Press. п. 7.