Громова произведение - Gromov product

В математика, то Громова произведение это понятие в теории метрические пространства назван в честь математика Михаил Громов. Произведение Громова также можно использовать для определения δ-гиперболические метрические пространства в смысле Громова.

Определение

Позволять (Икс, d) - метрическое пространство и пусть Икс, y, z ∈ Икс. Тогда Громова произведение из y и z в Икс, обозначается (y, z)_Икс, определяется

${displaystyle (y,z)_{x}={frac {1}{2}}{ig (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){ig )}.}$

Мотивация

Учитывая три очка Икс, y, z в метрическом пространстве Икс, по неравенству треугольника существуют неотрицательные числа а, б, c такой, что ${displaystyle d(x,y)=a+b, d(x,z)=a+c, d(y,z)=b+c}$. Тогда произведения Громова ${displaystyle (y,z)_{x}=a, (x,z)_{y}=b, (x,y)_{z}=c}$. В случае, если точки Икс, y, z внешние узлы штатив то эти произведения Громова - длины ребер.

В гиперболической, сферической или евклидовой плоскости произведение Громова (А, B)_C равно расстоянию п между C и точка, где окружать геодезического треугольника ABC касается края CB или CA. Действительно, из диаграммы c = (а – п) + (б – п), так что п = (а + б – c)/2 = (А,B)_C. Таким образом, для любого метрического пространства геометрическая интерпретация (А, B)_C получается изометрическим вложением (A, B, C) в евклидову плоскость.^[1]

Свойства

• Произведение Громова симметрично: (y, z)_Икс = (z, y)_Икс.
• Произведение Громова вырождается на концах: (y, z)_y = (y, z)_z = 0.
• По любым очкам п, q, Икс, y и z,

${displaystyle d(x,y)=(x,z)_{y}+(y,z)_{x},}$

${displaystyle 0leq (y,z)_{x}leq min {ig {}d(y,x),d(z,x){ig }},}$

${displaystyle {ig |}(y,z)_{p}-(y,z)_{q}{ig |}leq d(p,q),}$

${displaystyle {ig |}(x,y)_{p}-(x,z)_{p}{ig |}leq d(y,z).}$

Указывает на бесконечность

Рассматривать гиперболическое пространство ЧАС^п. Зафиксируйте базовую точку п и разреши ${displaystyle x_{infty }}$ и ${displaystyle y_{infty }}$ две различные бесконечно удаленные точки. Тогда предел

${displaystyle liminf _{x o x_{infty } atop y o y_{infty }}(x,y)_{p}}$

существует и конечно, поэтому может рассматриваться как обобщенное произведение Громова. Фактически это дается формулой

${displaystyle (x_{infty },y_{infty })_{p}=log csc( heta /2),}$

где ${displaystyle heta }$ угол между геодезический лучи ${displaystyle px_{infty }}$ и ${displaystyle py_{infty }}$.^[2]

δ-гиперболические пространства и расходимость геодезических

Произведение Громова можно использовать для определения δ-гиперболические пространства в смысле Громова .: (Икс, d) называется δ-гиперболический если для всех п, Икс, y и z в Икс,

${displaystyle (x,z)_{p}geq min {ig {}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{ig }}-delta .}$

В таком случае. Продукт Громова измеряет, как долго геодезические остаются близко друг к другу. А именно, если Икс, y и z три точки δ-гиперболическое метрическое пространство, то начальные отрезки длины (y, z)_Икс геодезических из Икс к y и Икс к z не более 2δ отдельно (в смысле Расстояние Хаусдорфа между закрытыми наборами).

Заметки

1. Вяйсяля, Юсси (15 сентября 2005 г.). «Гиперболические пространства Громова». Expositiones Mathematicae. 23 (3): 187–231. Дои:10.1016 / j.exmath.2005.01.010. ISSN  0723-0869.
2. Роу, Джон (2003). Лекции по грубой геометрии. Провиденс: Американское математическое общество. п. 114. ISBN  0-8218-3332-4.

использованная литература

• Coornaert, M .; Delzant, T .; Пападопулос, А. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Гиперболические группы Громова, Конспект лекций по математике (на французском языке), 1441, Springer-Verlag, ISBN  3-540-52977-2
• Капович Илья; Бенакли, Надя (2002). «Границы гиперболических групп». Комбинаторная и геометрическая теория групп (Нью-Йорк, 2000 / Хобокен, штат Нью-Джерси, 2001). Contemp. Математика. 296. Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc. С. 39–93. Г-Н  1921706.
• Вяйсяля, Юсси (2005). «Гиперболические пространства Громова». Expositiones Mathematicae. 23 (3): 187–231. Дои:10.1016 / j.exmath.2005.01.010.