Формула гаджикостаса - Hadjicostass formula - Wikipedia

В математика, Формула Хаджикостаса формула, относящаяся к определенному двойной интеграл к ценностям Гамма-функция и Дзета-функция Римана. Он назван в честь Петроса Хаджикостаса.

Заявление

Позволять s быть комплексное число с s ≠ -1 и Re (s)> −2. потом

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{1-xy}}(-\log(xy))^{s}\,dx\,dy=\Gamma (s+2)\left(\zeta (s+2)-{\frac {1}{s+1}}\right).}$

Здесь Γ - Гамма-функция а ζ - Дзета-функция Римана.

Фон

Первый пример формулы был доказан и использован Фрицем Бёкерсом в его статье 1978 года, где дано альтернативное доказательство Теорема Апери.^[1] Он доказал формулу, когда s = 0, и доказал эквивалентную формулировку для случая s = 1. Это побудило Петроса Хаджикостаса в 2004 г. предположить приведенную выше формулу:^[2] и в течение недели это было доказано Робином Чепменом.^[3] Он доказал, что формула верна, когда Re (s)> −1, а затем расширил результат на аналитическое продолжение чтобы получить полный результат.

Особые случаи

Помимо двух случаев, использованных Бейкерсом для получения альтернативных выражений для ζ (2) и ζ (3), формула может использоваться для выражения Постоянная Эйлера-Маскерони как двойной интеграл, позволяя s стремятся к -1:

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{(1-xy)(-\log(xy))}}\,dx\,dy.}$

Последняя формула была впервые открыта Джонатаном Сондоу.^[4] и именно он упоминается в названии статьи Хаджикостаса.

Примечания

1. Beukers, F. (1979). «Замечание об иррациональности ζ (2) и ζ (3)». Бык. Лондонская математика. Soc. 11 (3): 268–272. Дои:10.1112 / blms / 11.3.268.
2. Хаджикостас, П. (2004). «Гипотеза-обобщение формулы Сондоу». arXiv:math.NT / 0405423.
3. Чепмен, Р. (2004). «Доказательство гипотезы Хаджикостаса». arXiv:математика / 0405478.
4. Сондоу, Дж. (2003). «Критерии иррациональности постоянной Эйлера». Proc. Амер. Математика. Soc. 131: 3335–3344. Дои:10.1090 / S0002-9939-03-07081-3.

Смотрите также

• Hessami Pilehrood, Kh .; Хессами Пилехруд, Т. (2008). «Ряды типа Вакки для значений функции обобщенной постоянной Эйлера и ее производной». arXiv:0808.0410.

• Сондоу, Дж (2005). «Двойные интегралы для постоянной Эйлера и ln 4 / π и аналог формулы Хаджикостаса». Американский математический ежемесячный журнал. 112: 61–65. arXiv:math.CA/0211148. Дои:10.2307/30037385.
• Сондоу, Джонатан; Хаджикостас, Петрос (2008). «Обобщенная постоянная Эйлера функция γ (z) и обобщение квадратичной постоянной повторяемости Сомоса». Журнал математического анализа и приложений. 332: 292–314. arXiv:математика / 0610499. Дои:10.1016 / j.jmaa.2006.09.081.