Теорема Харанса об алмазе - Harans diamond theorem - Wikipedia

В математика, то Теорема Харана об алмазе дает общее достаточное условие сепарабельности продолжения Гильбертово поле быть гильбертианцем.

Формулировка теоремы об алмазе

полевая диаграмма теоремы алмаза

Позволять K быть Гильбертово поле и L отделимое расширение K. Предположим, что существуют два расширения Галуа N и M из K такой, что L содержится в композитум НМ, но не содержится ни в одном N ни M. потом L Гильбертианец.

Название теоремы происходит от изображенной диаграммы полей и было придумано Джарденом.

Некоторые следствия

Теорема Вайсауэра

Эта теорема была впервые доказана нестандартными методами Вейссауэром. Фрид осудил это стандартными методами. Последнее доказательство привело Харана к его теореме об алмазе.

Теорема Вейссауэра

Позволять K быть гильбертовским полем, N расширение Галуа K, и L конечное собственное расширение N. потом L Гильбертианец.

Доказательство с помощью теоремы алмаза

Если L конечно над K, это гильбертовский; поэтому мы предполагаем, что Л / К бесконечно. Позволять Икс быть примитивным элементом для L / N, т.е. L = N(Икс).

Позволять M быть закрытием Галуа K(Икс). Тогда все условия теоремы об алмазе выполнены, следовательно, L Гильбертианец.

Состояние Харрана-Джардена

Еще одно, предшествующее теореме об алмазе, достаточное условие постоянства было дано Хараном-Джарденом:Теорема. Позволять K быть гильбертовым полем и N, M два расширения Галуа K. Предположим, что ни один из них не содержит другого. Тогда их композитум НМ Гильбертианец.

У этой теоремы есть очень хорошее следствие: поскольку поле рациональных чисел, Q гильбертовский (Теорема Гильберта о неприводимости ), получаем, что алгебраическое замыкание Q не является составом двух собственных расширений Галуа.

Рекомендации

  • Харан, Дан (1999), "Гильбертовы поля при сепарабельных алгебраических расширениях", Inventiones Mathematicae, 137 (1): 113–126, Дои:10.1007 / s002220050325, МИСТЕР  1702139, Zbl  0933.12003.
  • Фрид, Майкл Д .; Джарден, Моше (2008), Полевая арифметика, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3 Фольге, 11 (3-е исправленное издание), Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-77269-9, МИСТЕР  2445111, Zbl  1145.12001.