Теорема Харди – Рамануджана - Hardy–Ramanujan theorem

В математика, то Теорема Харди – Рамануджана, доказано Г. Х. Харди и Шриниваса Рамануджан  (1917 ), утверждает, что нормальный порядок числа ω (п) различных главные факторы из числа п это журнал (журнал (п)).

Грубо говоря, это означает, что большинство чисел имеют примерно такое же количество различных простых множителей.

Точное заявление

Более точная версия гласит, что для любой действительной функции ψ (п), которая стремится к бесконечности при п стремится к бесконечности

${displaystyle |omega (n)-log(log(n))|<psi (n){sqrt {log(log(n))}}}$

или более традиционно

${displaystyle |omega (n)-log(log(n))|<{(log(log(n)))}^{{frac {1}{2}}+varepsilon }}$

для почти все (все, кроме бесконечно малой части) целых чисел. То есть пусть г(Икс) - количество натуральных чисел п меньше, чем Икс для которой не выполняется указанное выше неравенство: тогда г(Икс)/Икс сходится к нулю при Икс уходит в бесконечность.

История

Простое доказательство результата Туран (1934) был дан Пал Туран, кто использовал Сито Турана чтобы доказать, что

${displaystyle sum _{nleq x}|omega (n)-log log n|^{2}ll xlog log x .}$

Обобщения

Те же результаты верны и для Ω (п), количество простых множителей п считается с множественность Эта теорема обобщается Теорема Эрдеша – Каца, что показывает, что ω (п) по существу нормально распределенный.

использованная литература

• Харди, Г. Х.; Рамануджан, С. (1917), "Нормальное количество простых делителей числа п", Ежеквартальный журнал математики, 48: 76–92, JFM  46.0262.03
• Куо, Вентан; Лю, Ю-Ру (2008), "Теорема Эрдеша – Каца и ее обобщения", в Де Конинк, Жан-Мари; Гранвиль, Эндрю; Лука, Флориан (ред.), Анатомия целых чисел. По материалам семинара CRM, Монреаль, Канада, 13-17 марта 2006 г., Материалы и лекции по CRM, 46, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 209–216, ISBN  978-0-8218-4406-9, Zbl  1187.11024
• Туран, Пал (1934), "Об одной теореме Харди и Рамануджана", Журнал Лондонского математического общества, 9 (4): 274–276, Дои:10.1112 / jlms / s1-9.4.274, ISSN  0024-6107, Zbl  0010.10401
• Хильдебранд, А. (2001) [1994], «Теорема Харди-Рамануджана», Энциклопедия математики, EMS Press