Гармоническое среднее значение p - Harmonic mean p-value

В гармоническое среднее п-ценить^[1][2][3] (HMP) это статистический метод решения проблема множественных сравнений что контролирует уровень ошибок с точки зрения семьи.^[2] Это улучшает мощность из Коррекция Бонферрони путем выполнения комбинированных тестов, т.е. группы из п-значения статистически значимы, например Метод Фишера.^[4] Однако это позволяет избежать ограничительного предположения, что п-значения независимый, в отличие от метода Фишера.^[2][3] Следовательно, он контролирует ложноположительный рейтинг когда тесты являются зависимыми, за счет меньшей мощности (т.е. ложноотрицательная ставка ), когда тесты независимы.^[2] Помимо предоставления альтернативы таким подходам, как Коррекция Бонферрони который контролирует строгие частота ошибок в семье, он также является альтернативой широко используемому Процедура Бенджамини-Хохберга (BH) для контроля менее строгих коэффициент ложного обнаружения.^[5] Это потому, что способность HMP обнаруживать значительные группы гипотез больше, чем способность BH обнаруживать значимые индивидуальный гипотезы.^[2]

Есть две версии техники: (i) прямая интерпретация HMP как приблизительный п-значение и (ii) процедура преобразования HMP в асимптотически точный п-ценить. Подход обеспечивает многоуровневая процедура испытаний в котором самые маленькие группы п-значения, которые являются статистически значимыми, могут быть найдены.

Прямая интерпретация гармонического среднего п-ценить

В взвешенное гармоническое среднее из п-значения ${\textstyle p_{1},\dots ,p_{L}}$ определяется как

$${\displaystyle {\overset {\circ }{p}}={\frac {\sum _{i=1}^{L}w_{i}}{\sum _{i=1}^{L}w_{i}/p_{i}}},}$$

куда ${\textstyle w_{1},\dots ,w_{L}}$ веса, которые должны суммироваться в единицу, т.е. ${\textstyle \sum _{i=1}^{L}w_{i}=1}$. Могут быть выбраны равные веса, и в этом случае ${\textstyle w_{i}=1/L}$.

В общем, интерпретация HMP напрямую как п-значение является антиконсервативным, что означает, что ложноположительный рейтинг выше, чем ожидалось. Однако по мере того, как HMP становится меньше, при определенных допущениях, расхождение уменьшается, так что прямая интерпретация значимости приводит к ложноположительной частоте, близкой к той, которая подразумевается для достаточно малых значений (например, ${\displaystyle {\overset {\circ }{p}}<0.05}$).^[2]

HMP никогда не бывает антиконсервативным по большей части. ${\textstyle e\,\log L}$ для маленьких ${\textstyle L}$, или же ${\textstyle \log L}$ для больших ${\textstyle L}$.^[3] Однако эти границы представляют собой наихудшие сценарии при произвольной зависимости, которые на практике могут оказаться консервативными. Вместо того, чтобы применять эти оценки, асимптотически точные п-значения могут быть получены путем преобразования HMP.

Асимптотически точное гармоническое среднее п-значение процедуры

Обобщенная центральная предельная теорема показывает, что асимптотически точный п-ценить, ${\textstyle p_{\overset {\circ }{p}}}$, можно вычислить из HMP, ${\displaystyle {\overset {\circ }{p}}}$, используя формулу^[2]

$${\displaystyle p_{\overset {\circ }{p}}=\int _{1/{\overset {\circ }{p}}}^{\infty }f_{\textrm {Landau}}\left(x\,|\,\log L+0.874,{\frac {\pi }{2}}\right)\mathrm {d} x.}$$

При условии соблюдения предположений обобщенная центральная предельная теорема, это преобразовало п-значение становится точным как количество тестов, ${\textstyle L}$, становится большим. В вычислении используется Распределение Ландау, функция плотности которого может быть записана

$${\displaystyle f_{\textrm {Landau}}(x\,|\,\mu ,\sigma )={\frac {1}{\pi \sigma }}\int _{0}^{\infty }{\textrm {e}}^{-t{\frac {(x-\mu )}{\sigma }}-{\frac {2}{\pi }}t\log t}\,\sin(2t)\,{\textrm {d}}t.}$$

Тест проводится p.hmp командование гармонический Пакет R; а руководство доступно в Интернете.

Точно так же можно сравнить HMP с таблицей критических значений (Таблица 1). Таблица показывает, что чем меньше частота ложных срабатываний и меньше количество тестов, тем ближе критическое значение к частоте ложных срабатываний.

Таблица 1. Критические значения для HMP ${\textstyle {\overset {\circ }{p}}}$ для разного количества тестов ${\textstyle L}$ и ложные срабатывания ${\textstyle \alpha }$.^[2]

${\textstyle L}$	${\textstyle \alpha =0.05}$	${\textstyle \alpha =0.01}$	${\textstyle \alpha =0.001}$
10	0.040	0.0094	0.00099
100	0.036	0.0092	0.00099
1,000	0.034	0.0090	0.00099
10,000	0.031	0.0088	0.00098
100,000	0.029	0.0086	0.00098
1,000,000	0.027	0.0084	0.00098
10,000,000	0.026	0.0083	0.00098
100,000,000	0.024	0.0081	0.00098
1,000,000,000	0.023	0.0080	0.00097

Многократное тестирование через многоуровневую процедуру тестирования

Если HMP значим на каком-то уровне ${\textstyle \alpha }$ для группы ${\textstyle L}$ п-значения, можно искать все подмножества ${\textstyle L}$ п-значения для самой маленькой значимой группы при сохранении строгого уровня ошибок в семье.^[2] Формально это составляет процедура закрытого тестирования.^[6]

Когда ${\textstyle \alpha }$ маленький (например, ${\textstyle \alpha <0.05}$), следующий многоуровневый тест, основанный на прямой интерпретации HMP, контролирует интенсивность семейных ошибок на уровне приблизительно ${\textstyle \alpha :}$

1. Определите HMP любого подмножества ${\textstyle {\mathcal {R}}}$ из ${\textstyle L}$ п-значения быть
   $${\displaystyle {\overset {\circ }{p}}_{\mathcal {R}}={\frac {\sum _{i\in {\mathcal {R}}}w_{i}}{\sum _{i\in {\mathcal {R}}}w_{i}/p_{i}}}.}$$
2. Отвергните нулевую гипотезу о том, что ни один из п-значения в подмножестве ${\textstyle {\mathcal {R}}}$ имеют значение, если ${\textstyle {\overset {\circ }{p}}_{\mathcal {R}}\leq \alpha \,w_{\mathcal {R}}}$, куда ${\textstyle w_{\mathcal {R}}=\sum _{i\in {\mathcal {R}}}w_{i}}$. (Напомним, что по определению ${\textstyle \sum _{i=1}^{L}w_{i}=1}$.)

Асимптотически точная версия вышеизложенного заменяет ${\textstyle {\overset {\circ }{p}}_{\mathcal {R}}}$на шаге 2 с

$${\displaystyle p_{{\overset {\circ }{p}}_{\mathcal {R}}}=\max \left\{{\overset {\circ }{p}}_{\mathcal {R}},w_{\mathcal {R}}\int _{w_{\mathcal {R}}/{\overset {\circ }{p}}_{\mathcal {R}}}^{\infty }f_{\textrm {Landau}}\left(x\,|\,\log L+0.874,{\frac {\pi }{2}}\right)\mathrm {d} x\right\},}$$

куда ${\textstyle L}$ дает количество п-значения, а не только в подмножестве ${\textstyle {\mathcal {R}}}$.^[7]

Поскольку прямая интерпретация HMP выполняется быстрее, можно использовать двухпроходную процедуру для идентификации подмножеств п-значения, которые могут быть значимыми при прямой интерпретации, при условии подтверждения с использованием асимптотически точной формулы.

Свойства HMP

HMP обладает рядом свойств, которые вытекают из обобщенной центральной предельной теоремы.^[2] Это:

• От устойчивой до положительной зависимости между п-значения.
• Нечувствителен к точному количеству тестов, L.
• Устойчив к распределению весов, ш.
• Больше всего под влиянием самых маленьких п-значения.

Когда HMP не имеет значения, нет ни одного подмножества составляющих тестов. И наоборот, когда многоуровневый тест считает, что подмножество п-значения должны быть значительными, HMP для всех п- совокупные значения, вероятно, будут значительными; это очевидно, когда HMP интерпретируется напрямую. Когда цель - оценить значимость индивидуальный п-значения, так что комбинированные тесты, касающиеся группы из п-значения не представляют интереса, HMP эквивалентен Бонферрони процедура, но с учетом более строгого порога значимости ${\textstyle \alpha _{L}<\alpha }$ (Таблица 1).

HMP предполагает, что индивидуальный п-значения имеют (не обязательно независимые) стандартная униформа распределения, когда их нулевые гипотезы верны. Поэтому большое количество тестов с недостаточной мощностью может повредить мощность HMP.

Хотя выбор весов не важен для валидности HMP при нулевой гипотезе, весовые коэффициенты влияют на мощность процедуры. Дополнительные методы §5C ^[2] и онлайн руководство рассмотрим вопрос более подробно.

Байесовские интерпретации HMP

HMP был задуман по аналогии с усреднением байесовской модели и может интерпретироваться как обратно пропорциональный усредненному по модели. Фактор Байеса при объединении п-значения от тесты отношения правдоподобия.^[1][2]

Гармоническое среднее эмпирическое правило

И. Дж. Хорошо сообщили об эмпирической взаимосвязи между байесовским фактором и п-значение теста отношения правдоподобия.^[1] Для нулевой гипотезы ${\textstyle H_{0}}$ вложен в более общую альтернативную гипотезу ${\textstyle H_{A},}$ он заметил, что часто,

$${\displaystyle {\textrm {BF}}_{i}\approx {\frac {1}{\gamma \,p_{i}}},\quad 3{\frac {1}{3}}<\gamma <30,}$$

куда ${\textstyle {\textrm {BF}}_{i}}$ обозначает байесовский фактор в пользу ${\textstyle H_{A}}$ против ${\displaystyle H_{0}.}$ Экстраполируя, он предложил практическое правило, согласно которому HMP считается обратно пропорциональным среднему по модели байесовскому фактору для набора ${\textstyle L}$ тесты с общей нулевой гипотезой:

$${\displaystyle {\overline {\textrm {BF}}}=\sum _{i=1}^{L}w_{i}\,{\textrm {BF}}_{i}\approx \sum _{i=1}^{L}{\frac {w_{i}}{\gamma \,p_{i}}}={\frac {1}{\gamma \,{\overset {\circ }{p}}}}.}$$

Хорошо, что его практическое правило поддерживает взаимозаменяемость между Байесовский и классический подходы к проверке гипотез.^{[8][9][10][11][12]}

Байесовская калибровка п-значения

Если распределения п-значения по альтернативным гипотезам следуют Бета-распределения с параметрами ${\displaystyle \left(0<\xi _{i}<1,1\right)}$, форма, рассмотренная Селлке, Баярри и Бергером,^[13] то обратная пропорциональность между усредненным по модели байесовским фактором и HMP может быть формализована как^[2][14]

$${\displaystyle {\overline {\textrm {BF}}}=\sum _{i=1}^{L}\mu _{i}\,{\textrm {BF}}_{i}=\sum _{i=1}^{L}\mu _{i}\,\xi _{i}\,p_{i}^{\xi _{i}-1}\approx {\bar {\xi }}\sum _{i=1}^{L}w_{i}\,p_{i}^{-1}={\frac {\bar {\xi }}{\overset {\circ }{p}}},}$$

куда

• ${\textstyle \mu _{i}}$ априорная вероятность альтернативной гипотезы ${\textstyle i,}$ такой, что ${\textstyle \sum _{i=1}^{L}\mu _{i}=1,}$
• ${\textstyle \xi _{i}/(1+\xi _{i})}$ ожидаемое значение ${\textstyle p_{i}}$ при альтернативной гипотезе ${\textstyle i,}$
• ${\textstyle w_{i}=u_{i}/{\bar {\xi }}}$ вес, приписываемый п-ценить ${\textstyle i,}$
• ${\textstyle u_{i}=\left(\mu _{i}\,\xi _{i}\right)^{1/(1-\xi _{i})}}$ включает вероятности и мощности априорной модели в веса, и
• ${\textstyle {\bar {\xi }}=\sum _{i=1}^{L}u_{i}}$ нормализует веса.

Приближение лучше всего подходит для тестов с хорошей производительностью (${\displaystyle \xi _{i}\ll 1}$).

Гармоническое среднее п-значение как граница байесовского фактора

Для тестов отношения правдоподобия ровно с двумя степенями свободы Теорема Уилкса подразумевает, что ${\textstyle p_{i}=1/R_{i}}$, куда ${\textstyle R_{i}}$ это максимальное отношение правдоподобия в пользу альтернативной гипотезы ${\textstyle i,}$ и поэтому ${\textstyle {\overset {\circ }{p}}=1/{\bar {R}}}$, куда ${\textstyle {\bar {R}}}$ является средневзвешенным максимальным отношением правдоподобия с использованием весов ${\textstyle w_{1},\dots ,w_{L}.}$ С ${\textstyle R_{i}}$ является верхней границей байесовского фактора, ${\textstyle {\textrm {BF}}_{i}}$, тогда ${\textstyle 1/{\overset {\circ }{p}}}$ - это верхняя граница усредненного по модели байесовского фактора:

$${\displaystyle {\overline {\textrm {BF}}}\leq {\frac {1}{\overset {\circ }{p}}}.}$$

Хотя эквивалентность сохраняется только для двух степеней свободы, соотношение между ${\textstyle {\overset {\circ }{p}}}$ и ${\textstyle {\bar {R}},}$ и поэтому ${\textstyle {\overline {\textrm {BF}}},}$ аналогично ведет себя для других степеней свободы.^[2]

В предположении, что распределения п-значения по альтернативным гипотезам следуют Бета-распределения с параметрами ${\displaystyle \left(1,\kappa _{i}>1\right),}$ и что веса ${\displaystyle w_{i}=\mu _{i},}$ HMP обеспечивает более жесткую верхнюю границу усредненного по модели байесовского фактора:

$${\displaystyle {\overline {\textrm {BF}}}\leq {\frac {1}{e\,{\overset {\circ }{p}}}},}$$

результат, который снова воспроизводит обратную пропорциональность эмпирической зависимости Гуда.^[15]

Рекомендации

1. Хорошо, И. Дж (1958). «Параллельные и последовательные испытания значимости». Журнал Американской статистической ассоциации. 53 (284): 799–813. Дои:10.1080/01621459.1958.10501480. JSTOR  2281953.
2. Уилсон, Д. Дж. (2019). "Среднее гармоническое п-значение для объединения зависимых тестов ». Труды Национальной академии наук США. 116 (4): 1195–1200. Дои:10.1073 / pnas.1814092116. ЧВК  6347718. PMID  30610179.
3. Вовк, Владимир; Ван, Руоду (25 апреля 2019 г.). «Объединение значений p посредством усреднения» (PDF). Алгоритмическое обучение в случайном мире.
4. Фишер, Р. А. (1934). Статистические методы для научных работников (5-е изд.). Эдинбург, Великобритания: Оливер и Бойд.
5. Бенджамини Y, Хохберг Y (1995). «Контроль ложного обнаружения: практичный и эффективный подход к множественному тестированию». Журнал Королевского статистического общества. Серия B (Методологическая). 57 (1): 289–300. Дои:10.1111 / j.2517-6161.1995.tb02031.x. JSTOR  2346101.
6. Маркус Р., Эрик П., Габриэль К. Р. (1976). «О процедурах закрытого тестирования с особым упором на заказной дисперсионный анализ». Биометрика. 63 (3): 655–660. Дои:10.1093 / biomet / 63.3.655. JSTOR  2335748.
7. Уилсон, Дэниел Дж (17 августа 2019 г.). «Обновленная поправка к» гармоническому среднему значению p для объединения независимых тестов"" (PDF).
8. Хорошо, И. Дж (1984). «C192. Один хвост против двух хвостов и эмпирическое правило гармонического среднего». Журнал статистических вычислений и моделирования. 19 (2): 174–176. Дои:10.1080/00949658408810727.
9. Хорошо, И. Дж (1984). «C193. Парные и непарные сравнения и эмпирическое правило гармонического среднего». Журнал статистических вычислений и моделирования. 19 (2): 176–177. Дои:10.1080/00949658408810728.
10. Хорошо, И. Дж (1984). Параллельно "C213. Уточнение эмпирического правила гармонического среднего для объединения тестов""". Журнал статистических вычислений и моделирования. 20 (2): 173–176. Дои:10.1080/00949658408810770.
11. Хорошо, И. Дж (1984). «C214. Эмпирическое правило гармонического среднего: некоторые классы приложений». Журнал статистических вычислений и моделирования. 20 (2): 176–179. Дои:10.1080/00949658408810771.
12. Хорошо, Ирвинг Джон. (2009). Хорошее мышление: основы вероятности и ее приложения. Dover Publications. ISBN  9780486474380. OCLC  319491702.
13. Селлке, Томас; Баярри, М. Дж; Бергер, Джеймс О (2001). «Калибровка значений p для проверки точных нулевых гипотез». Американский статистик. 55 (1): 62–71. Дои:10.1198/000313001300339950. ISSN  0003-1305.
14. Уилсон, Д. Дж. (2019). "Ответ на удержание: когда является средним гармоническим п-значить байесовский фактор? " (PDF). Труды Национальной академии наук США. 116 (13): 5857–5858. Дои:10.1073 / пнас.1902157116. ЧВК  6442550. PMID  30890643.
15. Хелд, Л. (2019). "О байесовской интерпретации гармонического среднего п-ценить". Труды Национальной академии наук США. 116 (13): 5855–5856. Дои:10.1073 / pnas.1900671116. PMID  30890644.