Гемикомпактное пространство - Hemicompact space

В математика, в области топология, а топологическое пространство как говорят гемикомпакт если в нем есть последовательность компактный подмножества таких, что каждое компактное подмножество пространства лежит внутри некоторого компакта в последовательности.^[1] Ясно, что это заставляет объединение последовательности быть всем пространством, потому что каждая точка компактна и, следовательно, должна лежать в одном из компактов.

Примеры

• Каждый компактное пространство гемикомпактный.
• В реальная линия гемикомпактный.
• Каждый локально компактный Пространство Линделёфа гемикомпактный.

Характеристики

Каждое гемикомпактное пространство σ-компактный а если вдобавок это первый счетный тогда это локально компактный.

Приложения

Если ${displaystyle X}$ - гемикомпактное пространство, то пространство ${displaystyle C(X,M)}$ всех непрерывных функций ${displaystyle f:X o M}$ к метрическое пространство ${displaystyle (M,delta )}$ с компактно-открытая топология является метризуемый.^[2] Чтобы увидеть это, возьмите последовательность ${displaystyle K_{1},K_{2},dots }$ компактных подмножеств ${displaystyle X}$ такое, что каждое компактное подмножество ${displaystyle X}$ лежит внутри некоторого компакта этой последовательности (существование такой последовательности следует из гемикомпактности ${displaystyle X}$). Определять псевдометрика

${displaystyle d_{n}(f,g)=sup _{xin K_{n}}left|(f(x)-g(x))ight|,quad f,gin C(X,M),nin mathbb {N} .}$

потом

${displaystyle d(f,g)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{2^{n}}}cdot {frac {d_{n}(f,g)}{1+d_{n}(f,g)}}}$

определяет метрику на ${displaystyle C(X,M)}$ что индуцирует компактно-открытую топологию.

Смотрите также

• Компактное пространство
• Локально компактное пространство
• Пространство Линделёфа

Примечания

1. Уиллард 2004, Проблема установлена ​​в разделе 17.
2. Конвей 1990, Пример IV.2.2.

Рекомендации

• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология. Dover Publications. ISBN  0-486-43479-6.
• Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96. Springer Verlag. ISBN  0-387-97245-5.