Жидкость Гершеля – Балкли - Herschel–Bulkley fluid

В Жидкость Гершеля – Балкли является обобщенной моделью неньютоновская жидкость, в которой напряжение испытываемый жидкостью, связан с стресс сложным, нелинейным способом. Эти отношения характеризуют три параметра: согласованность. k, индекс потока п, а напряжение сдвига текучести ${displaystyle au _{0}}$. Консистенция - это простая константа пропорциональности, в то время как индекс потока измеряет степень разжижения или загущения жидкости при сдвиге. Обычная краска является одним из примеров жидкости, разжижающей сдвиг, а Oobleck обеспечивает одну реализацию загущающей сдвиг жидкости. Наконец, предел текучести количественно определяет величину напряжения, которое жидкость может испытать, прежде чем она подойдет и начнет течь.

Эта модель неньютоновской жидкости была предложена Уинслоу Гершелем и Рональдом Балкли в 1926 году.^[1][2]

Определение

В конститутивное уравнение модели Гершеля-Балкли обычно записывается как

${displaystyle au = au _{0}+k{dot {gamma }}^{n}}$

куда ${displaystyle au }$ это напряжение сдвига, ${displaystyle {dot {gamma }}}$ то скорость сдвига, ${displaystyle au _{0}}$ предел текучести, ${displaystyle k}$ индекс согласованности и ${displaystyle n}$ индекс потока. Если ${displaystyle au < au _{0}}$ жидкость Гершеля-Балкли ведет себя как твердое (недеформируемое) твердое тело, в противном случае она ведет себя как жидкость. За ${displaystyle n<1}$ жидкость разжижается при сдвиге, тогда как для ${displaystyle n>1}$ жидкость загустевает от сдвига. Если ${displaystyle n=1}$ и ${displaystyle au _{0}=0}$, эта модель сводится к Ньютоновская жидкость.

Как обобщенная ньютоновская жидкость модели эффективная (или кажущаяся) вязкость определяется как ^[3]

${displaystyle mu _{operatorname {eff} }={egin{cases}mu _{0},&|{dot {gamma }}|leq {dot {gamma }}_{0}k|{dot {gamma }}|^{n-1}+ au _{0}|{dot {gamma }}|^{-1},&|{dot {gamma }}|geq {dot {gamma }}_{0}end{cases}}}$

Предельная вязкость ${displaystyle mu _{0}}$ выбирается так, что ${displaystyle mu _{0}=k{dot {gamma }}_{0}^{n-1}+ au _{0}{dot {gamma }}_{0}^{-1}}$. Большая предельная вязкость означает, что жидкость будет течь только в ответ на большую приложенную силу. Эта функция фиксирует Bingham -тип поведения жидкости.

В несжимаемом потоке тензор вязких напряжений дается как вязкость, умноженная на тензор скорости деформации

${displaystyle au _{ij}=2mu _{operatorname {eff} }(|{dot {gamma }}|)E_{ij}=mu _{operatorname {eff} }(|{dot {gamma }}|)left({frac {partial u_{i}}{partial x_{j}}}+{frac {partial u_{j}}{partial x_{i}}}ight),}$

где величина скорости сдвига определяется выражением

${displaystyle |{dot {gamma }}|={sqrt {2E_{ij}E^{ij}}}}$.

Величина скорости сдвига равна изотропный приближение, и вместе со вторым инвариантный тензора скорости деформации

${displaystyle II_{E}=tr(E_{ij}E^{jk})=E_{ij}E^{ij}}$.

Канальный поток

А схематический диаграмма нагнетательного горизонтального потока. Поток является однонаправленным в направлении градиента давления.

Часто встречающаяся ситуация в экспериментах: давление -приводной канальный поток ^[4] (см. диаграмму). Эта ситуация демонстрирует равновесие, в котором поток существует только в горизонтальном направлении (вдоль направления градиента давления), а градиент давления и вязкие эффекты находятся в равновесии. Затем Уравнения Навье-Стокса вместе с реологический модель сведем к одному уравнению:

Профиль скорости жидкости Гершеля – Балкли для различных показателей потока. п. В каждом случае безразмерное давление равно ${displaystyle pi _{0}=-10}$. Непрерывная кривая - для обычной ньютоновской жидкости (Поток Пуазейля ), пунктирная кривая соответствует жидкости, загущающей сдвиг, а пунктирная кривая - жидкости, разжижающей сдвиг.

${displaystyle {frac {partial p}{partial x}}={frac {partial }{partial z}}left(mu {frac {partial u}{partial z}}ight),,,={egin{cases}mu _{0}{frac {partial ^{2}u}{partial {z}^{2}}},&left|{frac {partial u}{partial z}}ight|<gamma _{0}\{frac {partial }{partial z}}left[left(kleft|{frac {partial u}{partial z}}ight|^{n-1}+ au _{0}left|{frac {partial u}{partial z}}ight|^{-1}ight){frac {partial u}{partial z}}ight],&left|{frac {partial u}{partial z}}ight|geq gamma _{0}end{cases}}}$

Чтобы решить это уравнение, необходимо обезразмерить задействованные величины. Глубина канала ЧАС выбрана в качестве шкалы длины, средняя скорость V за шкалу скорости, а за шкалу давления - ${displaystyle P_{0}=kleft(V/Hight)^{n}}$. Этот анализ вводит безразмерный градиент давления

${displaystyle pi _{0}={frac {H}{P_{0}}}{frac {partial p}{partial x}},}$

что отрицательно для потока слева направо и числа Бингема:

${displaystyle Bn={frac { au _{0}}{k}}left({frac {H}{V}}ight)^{n}.}$

Затем область решения разбивается на три части, действительные для отрицательного градиента давления:

• Область у нижней стенки, где ${displaystyle partial u/partial z>gamma _{0}}$;
• Область в жидком ядре, где ${displaystyle |partial u/partial z|<gamma _{0}}$;
• Область у верхней стены, где ${displaystyle partial u/partial z<-gamma _{0}}$,

Решение этого уравнения дает профиль скорости:

${displaystyle uleft(zight)={egin{cases}{frac {n}{n+1}}{frac {1}{pi _{0}}}left[left(pi _{0}left(z-z_{1}ight)+gamma _{0}^{n}ight)^{1+left(1/night)}-left(-pi _{0}z_{1}+gamma _{0}^{n}ight)^{1+left(1/night)}ight],&zin left[0,z_{1}ight]{frac {pi _{0}}{2mu _{0}}}left(z^{2}-zight)+k,&zin left[z_{1},z_{2}ight],{frac {n}{n+1}}{frac {1}{pi _{0}}}left[left(-pi _{0}left(z-z_{2}ight)+gamma _{0}^{n}ight)^{1+left(1/night)}-left(-pi _{0}left(1-z_{2}ight)+gamma _{0}^{n}ight)^{1+left(1/night)}ight],&zin left[z_{2},1ight]end{cases}}}$

Здесь k константа согласования такая, что ${displaystyle uleft(z_{1}ight)}$ непрерывно. Профиль уважает противоскользящий условия на границах канала,

${displaystyle u(0)=u(1)=0,}$

Используя те же аргументы непрерывности, показано, что ${displaystyle z_{1,2}={ frac {1}{2}}pm delta }$, куда

${displaystyle delta ={frac {gamma _{0}mu _{0}}{|pi _{0}|}}leq { frac {1}{2}}.}$

С ${displaystyle mu _{0}=gamma _{0}^{n-1}+Bn/gamma _{0}}$, для данного ${displaystyle left(gamma _{0},Bnight)}$ пара, существует критический градиент давления

${displaystyle |pi _{0,mathrm {c} }|=2left(gamma _{0}+Bnight).}$

Примените любой градиент давления, меньший по величине, чем это критическое значение, и жидкость не будет течь; таким образом очевидна его бингемская природа. Любой градиент давления, превышающий это критическое значение, приведет к потоку. Поток, связанный с жидкостью, разжижающей сдвиг, замедлен по сравнению с потоком, связанным с жидкостью, разжижающей сдвиг.

Расход трубы

За ламинарный поток Чилтон и Стейнсби ^[5] предоставьте следующее уравнение для расчета падения давления. Уравнение требует итеративного решения для извлечения падения давления, так как оно присутствует с обеих сторон уравнения.

${displaystyle {frac {Delta P}{L}}={frac {4K}{D}}left({frac {8V}{D}}ight)^{n}left({frac {3n+1}{4n}}ight)^{n}{frac {1}{1-X}}left({frac {1}{1-aX-bX^{2}-cX^{3}}}ight)^{n}}$

${displaystyle X={frac {4L au _{y}}{DDelta P}}}$

${displaystyle a={frac {1}{2n+1}}}$

${displaystyle b={frac {2n}{left(n+1ight)left(2n+1ight)}}}$

${displaystyle c={frac {2n^{2}}{left(n+1ight)left(2n+1ight)}}}$

За турбулентный поток Авторы предлагают метод, который требует знания напряжения сдвига стенки, но не предоставляет метод расчета напряжения сдвига стенки. Их процедура расширена в Hathoot. ^[6]

${displaystyle R={frac {4nho VDleft(1-aX-bX^{2}-cX^{3}ight)}{mu _{Wall}left(3n+1ight)}}}$

${displaystyle mu _{Wall}= au _{Wall}^{1-1/n}left({frac {K}{1-X}}ight)^{1/n}}$

${displaystyle au _{Wall}={frac {DDelta P}{4L}}}$

Все единицы - СИ

${displaystyle Delta P}$ Падение давления, Па.

${displaystyle L}$ Длина трубы, м

${displaystyle D}$ Диаметр трубы, м

${displaystyle V}$ Средняя скорость жидкости, ${displaystyle m/s}$

Чилтон и Стейнсби заявляют, что определение Число Рейнольдса в качестве

${displaystyle Re={frac {R}{n^{2}left(1-Xight)^{4}}}}$

позволяет стандартный ньютоновский коэффициент трения корреляции, которые будут использоваться.

Затем можно рассчитать перепад давления с учетом подходящей корреляции коэффициента трения. Требуется итерационная процедура, так как падение давления требуется для начала расчетов, а также является их результатом.

Смотрите также

Вязкость

Рекомендации

1. Herschel, W.H .; Балкли, Р. (1926), "Konsistenzmessungen von Gummi-Benzollösungen", Kolloid Zeitschrift, 39: 291–300, Дои:10.1007 / BF01432034
2. Tang, Hansong S .; Калион, Дилхан М. (2004), «Оценка параметров жидкости Гершеля – Балкли при стенковом скольжении с использованием комбинации капиллярных и сжимаемых вискозиметров», Rheologica Acta, 43 (1): 80–88, Дои:10.1007 / s00397-003-0322-у
3. К. С. Саху, П. Валлури, П. Д. М. Спеллед и О. К. Матар (2007) «Линейная неустойчивость течения в канале под давлением жидкости Ньютона и жидкости Гершеля – Балкли» Phys. Жидкости 19, 122101
4. Д. Дж. Ачесон «Элементарная механика жидкости» (1990), Оксфорд, стр. 51
5. Чилтон Р.А. и Стейнсби Р., 1998, "Уравнения потери давления для ламинарного и турбулентного неньютоновского потока в трубе", Журнал гидротехники 124(5) стр. 522 и сл.
6. Hathoot, HM, 2004, "Минимальные затраты на проектирование трубопроводов, транспортирующих неньютоновские жидкости", Александрийский инженерный журнал, 43(3) 375 - 382

внешняя ссылка

• Описание жидкости Гершеля – Балкли; графическое сравнение реологических моделей