Критерий текучести холма - Hill yield criterion

В Критерий текучести холма разработан Родни Хилл, является одним из нескольких критериев текучести для описания анизотропных пластических деформаций. Самая ранняя версия была прямым продолжением критерий текучести фон Мизеса и имел квадратичную форму. Позднее эта модель была обобщена с учетом показателя степени м. Варианты этих критериев широко используются для металлов, полимеров и некоторых композитов.

Квадратичный критерий доходности Хилла

Квадратичный критерий доходности Хилла^[1] имеет форму

${\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}=1~.}$

Здесь F, G, H, L, M, N - константы, которые необходимо определить экспериментально, и ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ стрессы. Квадратичный критерий текучести Хилла зависит только от девиаторных напряжений и не зависит от давления. Он предсказывает одинаковый предел текучести при растяжении и сжатии.

Выражения для F, G, H, L, M, N

Если предположить, что оси анизотропии материала ортогональны, то можно записать

${\displaystyle (G+H)~(\sigma _{1}^{y})^{2}=1~;~~(F+H)~(\sigma _{2}^{y})^{2}=1~;~~(F+G)~(\sigma _{3}^{y})^{2}=1}$

куда ${\displaystyle \sigma _{1}^{y},\sigma _{2}^{y},\sigma _{3}^{y}}$ - нормальные напряжения текучести по отношению к осям анизотропии. Поэтому у нас есть

${\displaystyle F={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\right]}$

${\displaystyle G={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}\right]}$

${\displaystyle H={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}\right]}$

Аналогично, если ${\displaystyle \tau _{12}^{y},\tau _{23}^{y},\tau _{31}^{y}}$ - напряжения текучести при сдвиге (относительно осей анизотропии), имеем

${\displaystyle L={\cfrac {1}{2~(\tau _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2~(\tau _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2~(\tau _{12}^{y})^{2}}}}$

Квадратичный критерий текучести Хилла для плоского напряжения

Квадратичный критерий текучести Хилла для тонких прокатных листов (условия плоского напряжения) может быть выражен как

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}+{\cfrac {R_{0}~(1+R_{90})}{R_{90}~(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}}$

где главные напряжения ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ предполагается совмещенными с осями анизотропии с ${\displaystyle \sigma _{1}}$ в направлении качения и ${\displaystyle \sigma _{2}}$ перпендикулярно направлению прокатки, ${\displaystyle \sigma _{3}=0}$, ${\displaystyle R_{0}}$ это R-значение в направлении прокатки, и ${\displaystyle R_{90}}$ это R-значение перпендикулярно направлению прокатки.

Для частного случая поперечной изотропии имеем ${\displaystyle R=R_{0}=R_{90}}$ и мы получаем

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R}{1+R}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}}$

Вывод критерия Хилла для плоского напряжения.

Для ситуации, когда главные напряжения совпадают с направлениями анизотропии, имеем ${\displaystyle f:=F(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+G(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}+H(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}-1=0\,}$ куда ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ основные напряжения. Если мы предположим связанное правило потока, мы имеем ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}_{i}^{p}={\dot {\lambda }}~{\cfrac {\partial f}{\partial \sigma _{i}}}\qquad \implies \qquad {\cfrac {d\epsilon _{i}^{p}}{d\lambda }}={\cfrac {\partial f}{\partial \sigma _{i}}}~.}$ Отсюда следует, что ${\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {d\epsilon _{1}^{p}}{d\lambda }}&=2(G+H)\sigma _{1}-2H\sigma _{2}-2G\sigma _{3}\\{\cfrac {d\epsilon _{2}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+H)\sigma _{2}-2H\sigma _{1}-2F\sigma _{3}\\{\cfrac {d\epsilon _{3}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+G)\sigma _{3}-2G\sigma _{1}-2F\sigma _{2}~.\end{aligned}}}$ Для плоского напряжения ${\displaystyle \sigma _{3}=0}$, который дает ${\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {d\epsilon _{1}^{p}}{d\lambda }}&=2(G+H)\sigma _{1}-2H\sigma _{2}\\{\cfrac {d\epsilon _{2}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+H)\sigma _{2}-2H\sigma _{1}\\{\cfrac {d\epsilon _{3}^{p}}{d\lambda }}&=-2G\sigma _{1}-2F\sigma _{2}~.\end{aligned}}}$ В R-значение ${\displaystyle R_{0}}$ определяется как отношение пластических деформаций в плоскости и вне плоскости при одноосном напряжении ${\displaystyle \sigma _{1}}$. Количество ${\displaystyle R_{90}}$ - коэффициент пластической деформации при одноосном напряжении ${\displaystyle \sigma _{2}}$. Следовательно, мы имеем ${\displaystyle R_{0}={\cfrac {d\epsilon _{2}^{p}}{d\epsilon _{3}^{p}}}={\cfrac {H}{G}}~;~~R_{90}={\cfrac {d\epsilon _{1}^{p}}{d\epsilon _{3}^{p}}}={\cfrac {H}{F}}~.}$ Затем, используя ${\displaystyle H=R_{0}G}$ и ${\displaystyle \sigma _{3}=0}$, условие доходности можно записать как ${\displaystyle f:=F\sigma _{2}^{2}+G\sigma _{1}^{2}+R_{0}G(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}-1=0\,}$ что, в свою очередь, может быть выражено как ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}+{\cfrac {F+R_{0}G}{G(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}={\cfrac {1}{(1+R_{0})G}}~.}$ Это та же форма, что и требуемое выражение. Все, что нам нужно сделать, это выразить ${\displaystyle F,G}$ с точки зрения ${\displaystyle \sigma _{1}^{y}}$. Напомним, что, ${\displaystyle {\begin{aligned}F&={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\right]\\G&={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}\right]\\H&={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}\right]\end{aligned}}}$ Мы можем использовать их для получения ${\displaystyle {\begin{aligned}R_{0}={\cfrac {H}{G}}&\implies (1+R_{0}){\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-(1+R_{0}){\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}=(1-R_{0}){\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\\R_{90}={\cfrac {H}{F}}&\implies (1+R_{90}){\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-(1-R_{90}){\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}=(1+R_{90}){\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\end{aligned}}}$ Решение для ${\displaystyle {\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}},{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}}$ дает нам ${\displaystyle {\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}={\cfrac {R_{0}+R_{90}}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}~;~~{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}={\cfrac {R_{0}(1+R_{90})}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}}$ Возвращаясь к выражениям для ${\displaystyle F,G}$ приводит к ${\displaystyle F={\cfrac {R_{0}}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}~;~~G={\cfrac {1}{1+R_{0}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}}$ откуда следует, что ${\displaystyle {\cfrac {1}{G(1+R_{0})}}=(\sigma _{1}^{y})^{2}~;~~{\cfrac {F+R_{0}G}{G(1+R_{0})}}={\cfrac {R_{0}(1+R_{90})}{R_{90}(1+R_{0})}}~.}$ Следовательно, форма плоского напряжения квадратичного критерия текучести Хилла может быть выражена как ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}+{\cfrac {R_{0}~(1+R_{90})}{R_{90}~(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}}$

Обобщенный критерий доходности Хилла

Обобщенный критерий доходности Хилла^[2] имеет форму

${\displaystyle {\begin{aligned}F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}&+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+M|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}=\sigma _{y}^{m}~.\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \sigma _{i}}$ - главные напряжения (совпадающие с направлениями анизотропии), ${\displaystyle \sigma _{y}}$ - предел текучести, а F, G, H, L, M, N являются константами. Значение м определяется степенью анизотропии материала и должно быть больше 1, чтобы обеспечить выпуклость поверхности текучести.

Обобщенный критерий текучести анизотропного материала Хилла

Для трансверсально-изотропных материалов с ${\displaystyle 1-2}$ будучи плоскостью симметрии, обобщенный критерий текучести Хилла сводится к (с ${\displaystyle F=G}$ и ${\displaystyle L=M}$)

${\displaystyle {\begin{aligned}f:=&F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+L|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0\end{aligned}}}$

В R-значение или же Коэффициент Ланкфорда можно определить, рассматривая ситуацию, когда ${\displaystyle \sigma _{1}>(\sigma _{2}=\sigma _{3}=0)}$. Тогда R-значение определяется как

${\displaystyle R={\cfrac {(2^{m-1}+2)L-N+H}{(2^{m-1}-1)L+2N+F}}~.}$

Под плоское напряжение В условиях и при некоторых предположениях обобщенный критерий Хилла может принимать несколько форм.^[3]

• Случай 1: ${\displaystyle L=0,H=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {1+2R}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m})-{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• Случай 2: ${\displaystyle N=0,F=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(1-2^{m-1})(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-{\cfrac {1}{(1-2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• Случай 3: ${\displaystyle N=0,H=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(|\sigma _{1}|^{m}-|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• Случай 4: ${\displaystyle L=0,F=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {1+2R}{2(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+{\cfrac {1}{2(1+R)}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• Случай 5: ${\displaystyle L=0,N=0.}$. Это Критерий текучести Хосфорда.

${\displaystyle f:={\cfrac {1}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

Следует проявлять осторожность при использовании этих форм обобщенного критерия текучести Хилла, поскольку поверхности текучести становятся вогнутыми (иногда даже неограниченными) для определенных комбинаций ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle m}$.^[4]

Критерий доходности Хилла 1993 г.

В 1993 году Хилл предложил другой критерий доходности. ^[5] для задач плоских напряжений с плоской анизотропией. Критерий Hill93 имеет вид

${\displaystyle \left({\cfrac {\sigma _{1}}{\sigma _{0}}}\right)^{2}+\left({\cfrac {\sigma _{2}}{\sigma _{90}}}\right)^{2}+\left[(p+q-c)-{\cfrac {p\sigma _{1}+q\sigma _{2}}{\sigma _{b}}}\right]\left({\cfrac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{0}\sigma _{90}}}\right)=1}$

куда ${\displaystyle \sigma _{0}}$ - предел текучести при одноосном растяжении в направлении прокатки, ${\displaystyle \sigma _{90}}$ - предел текучести при одноосном растяжении в направлении, перпендикулярном направлению прокатки, ${\displaystyle \sigma _{b}}$ - предел текучести при однородном двухосном растяжении, а ${\displaystyle c,p,q}$ параметры определены как

${\displaystyle {\begin{aligned}c&={\cfrac {\sigma _{0}}{\sigma _{90}}}+{\cfrac {\sigma _{90}}{\sigma _{0}}}-{\cfrac {\sigma _{0}\sigma _{90}}{\sigma _{b}^{2}}}\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right)~p&={\cfrac {2R_{0}(\sigma _{b}-\sigma _{90})}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}-{\cfrac {2R_{90}\sigma _{b}}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{0}}}\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right)~q&={\cfrac {2R_{90}(\sigma _{b}-\sigma _{0})}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}-{\cfrac {2R_{0}\sigma _{b}}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{90}}}\end{aligned}}}$

и ${\displaystyle R_{0}}$ - величина R для одноосного растяжения в направлении прокатки, и ${\displaystyle R_{90}}$ - величина R для одноосного растяжения в плоскости, перпендикулярной направлению прокатки.

Расширение критериев доходности Хилла

Первоначальные версии критериев текучести Хилла были разработаны для материалов, у которых не было поверхностей текучести, зависящих от давления, которые необходимы для моделирования. полимеры и пены.

Критерий текучести Кадделла-Рагхавы-Аткинса

Расширением, позволяющим учитывать зависимость от давления, является модель Кадделла-Рагхавы-Аткинса (CRA). ^[6] который имеет вид

${\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}=1~.}$

Критерий текучести Дешпанде-Флека-Эшби

Другое зависящее от давления расширение квадратичного критерия текучести Хилла, имеющее форму, аналогичную формуле Критерий доходности Бреслера Пистера - критерий текучести Дешпанде, Флека и Эшби (DFA) ^[7] за сотовые конструкции (используется в сэндвич-композит строительство). Этот критерий доходности имеет вид

${\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}+K(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})^{2}=1~.}$

Рекомендации

1. Р. Хилл. (1948). Теория податливости и пластического течения анизотропных металлов. Proc. Рой. Soc. Лондон, 193: 281–297.
2. Р. Хилл. (1979). Теоретическая пластичность фактурных заполнителей. Математика. Proc. Camb. Фил. Soc., 85 (1): 179–191.
3. Чу, Э. (1995). Обобщение критериев анизотропии текучести Хилла 1979 г.. Журнал технологий обработки материалов, вып. 50, стр. 207-215.
4. Чжу Ю., Додд Б., Кадделл Р. М. и Хосфорд В. Ф. (1987). Ограничения критерия анизотропной текучести Хилла 1979 г. Международный журнал механических наук, вып. 29, с. 733.
5. Холм. Р. (1993). Удобная теория ортотропной пластичности листовых металлов. Международный журнал механических наук, вып. 35, нет. 1. С. 19–25.
6. Кадделл Р. М., Рагхава Р. С. и Аткинс А. Г. (1973), Критерий текучести для анизотропных твердых тел, зависящих от давления, таких как ориентированные полимеры. Журнал материаловедения, вып. 8, вып. 11. С. 1641-1646.
7. Дешпанде В. С., Флек Н. А. и Эшби, М.Ф. (2001). Эффективные свойства материала решетки октет-фермы. Журнал механики и физики твердого тела, вып. 49, нет. 8. С. 1747-1769.

внешняя ссылка

• Критерии выхода алюминия