Оценщик Ходжеса - Hodges estimator - Wikipedia

В статистика, Оценщик Ходжеса[1] (или Оценщик Ходжеса – Ле Кама[2]), названный в честь Джозеф Ходжес, это известный контрпример из оценщик что является «сверхэффективным»,[3] т.е. он имеет меньшую асимптотическую дисперсию, чем обычный эффективные оценщики. Существование такого контрпримера является причиной введения понятия регулярные оценщики.

Оценщик Ходжеса в одном месте лучше обычного оценщика. В общем, любая сверхэффективная оценка может превосходить обычную оценку не более чем на наборе Мера Лебега нуль.[4]

Строительство

Предполагать является «общей» оценкой некоторого параметра θ: это последовательный, и сходится к некоторым асимптотическое распределение Lθ (обычно это нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией, которая может зависеть от θ) на п-ставка:

Тогда Оценщик Ходжеса определяется как[5]

Эта оценка равна везде кроме небольшого интервала [−п−1/4, п−1/4], где он равен нулю. Нетрудно видеть, что эта оценка последовательный за θ, и это асимптотическое распределение является[6]

для любого αр. Таким образом, эта оценка имеет то же асимптотическое распределение, что и для всех θ ≠ 0, тогда как для θ = 0 скорость сходимости становится произвольно высокой. Эта оценка сверхэффективный, поскольку она превосходит асимптотику эффективной оценки хотя бы в одном месте θ = 0. Вообще говоря, сверхэффективность может быть достигнута только на подмножестве нулевой меры Лебега пространства параметров Θ.

Пример

В среднеквадратичная ошибка (раз п) оценки Ходжеса. Синяя кривая соответствует п = 5от фиолетового до п = 50и оливковое в п = 500.[7]

Предполагать Икс1, ..., Иксп является независимые и одинаково распределенные (IID) случайная выборка из нормального распределения N(θ, 1) с неизвестным средним, но известной дисперсией. Тогда общая оценка для среднего населения θ это среднее арифметическое всех наблюдений: . Соответствующая оценка Ходжеса будет , куда 1{...} обозначает индикаторная функция.

В среднеквадратичная ошибка (в масштабе п), связанный с регулярной оценкой Икс постоянна и равна 1 для всех θ'с. В то же время среднеквадратичная ошибка оценки Ходжеса ведет себя хаотично вблизи нуля и даже становится неограниченным при п → ∞. Это демонстрирует, что оценка Ходжеса не обычный, и его асимптотические свойства неадекватно описываются пределами вида (θ фиксированный, п → ∞).

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

  • Бикель, Питер Дж .; Klaassen, Chris A.J .; Ритов, Яаков; Веллнер, Джон А. (1998). Эффективное и адаптивное оценивание полупараметрических моделей. Спрингер: Нью-Йорк. ISBN  0-387-98473-9.
  • Кале, Б.К. (1985). «Замечание о сверхэффективном оценщике». Журнал статистического планирования и вывода. 12: 259–263. Дои:10.1016/0378-3758(85)90074-6.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Stoica, P .; Оттерстен, Б. (1996). «Зло сверхэффективности». Обработка сигналов. 55: 133–136. Дои:10.1016 / S0165-1684 (96) 00159-4.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Ваарт, А. В. ван дер (1998). Асимптотическая статистика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-78450-4.CS1 maint: ref = harv (связь)