Оценщик Ходжеса - Hodges estimator - Wikipedia

В статистика, Оценщик Ходжеса^[1] (или Оценщик Ходжеса – Ле Кама^[2]), названный в честь Джозеф Ходжес, это известный контрпример из оценщик что является «сверхэффективным»,^[3] т.е. он имеет меньшую асимптотическую дисперсию, чем обычный эффективные оценщики. Существование такого контрпримера является причиной введения понятия регулярные оценщики.

Оценщик Ходжеса в одном месте лучше обычного оценщика. В общем, любая сверхэффективная оценка может превосходить обычную оценку не более чем на наборе Мера Лебега нуль.^[4]

Строительство

Предполагать ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}}$ является «общей» оценкой некоторого параметра θ: это последовательный, и сходится к некоторым асимптотическое распределение L_θ (обычно это нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией, которая может зависеть от θ) на √п-ставка:

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta )\ {\xrightarrow {d}}\ L_{\theta }\ .}$

Тогда Оценщик Ходжеса ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}}$ определяется как^[5]

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}={\begin{cases}{\hat {\theta }}_{n},&{\text{if }}|{\hat {\theta }}_{n}|\geq n^{-1/4},{\text{ and}}\\0,&{\text{if }}|{\hat {\theta }}_{n}|<n^{-1/4}.\end{cases}}}$

Эта оценка равна ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}}$ везде кроме небольшого интервала [−п^−1/4, п^−1/4], где он равен нулю. Нетрудно видеть, что эта оценка последовательный за θ, и это асимптотическое распределение является^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}&n^{\alpha }({\hat {\theta }}_{n}^{H}-\theta )\ {\xrightarrow {d}}\ 0,\qquad {\text{when }}\theta =0,\\&{\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}^{H}-\theta )\ {\xrightarrow {d}}\ L_{\theta },\quad {\text{when }}\theta \neq 0,\end{aligned}}}$

для любого α ∈ р. Таким образом, эта оценка имеет то же асимптотическое распределение, что и ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}}$ для всех θ ≠ 0, тогда как для θ = 0 скорость сходимости становится произвольно высокой. Эта оценка сверхэффективный, поскольку она превосходит асимптотику эффективной оценки ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}}$ хотя бы в одном месте θ = 0. Вообще говоря, сверхэффективность может быть достигнута только на подмножестве нулевой меры Лебега пространства параметров Θ.

Пример

В среднеквадратичная ошибка (раз п) оценки Ходжеса. Синяя кривая соответствует п = 5от фиолетового до п = 50и оливковое в п = 500.^[7]

Предполагать Икс₁, ..., Икс_п является независимые и одинаково распределенные (IID) случайная выборка из нормального распределения N(θ, 1) с неизвестным средним, но известной дисперсией. Тогда общая оценка для среднего населения θ это среднее арифметическое всех наблюдений: ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {x}}}$. Соответствующая оценка Ходжеса будет ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}\;=\;{\bar {x}}\cdot \mathbf {1} \{|{\bar {x}}|\,\geq \,n^{-1/4}\}}$, куда 1{...} обозначает индикаторная функция.

В среднеквадратичная ошибка (в масштабе п), связанный с регулярной оценкой Икс постоянна и равна 1 для всех θ'с. В то же время среднеквадратичная ошибка оценки Ходжеса ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}}$ ведет себя хаотично вблизи нуля и даже становится неограниченным при п → ∞. Это демонстрирует, что оценка Ходжеса не обычный, и его асимптотические свойства неадекватно описываются пределами вида (θ фиксированный, п → ∞).

Смотрите также

• Оценка Джеймса – Стейна

Примечания

1. Ваарт (1998, п. 109)
2. Кале (1985)
3. Бикель (1998 г., п. 21)
4. Ваарт (1998, п. 116)
5. Стойка и Оттерстен (1996), п. 135)
6. Ваарт (1998, п. 109)
7. Ваарт (1998, п. 110)

Рекомендации

• Бикель, Питер Дж .; Klaassen, Chris A.J .; Ритов, Яаков; Веллнер, Джон А. (1998). Эффективное и адаптивное оценивание полупараметрических моделей. Спрингер: Нью-Йорк. ISBN  0-387-98473-9.
• Кале, Б.К. (1985). «Замечание о сверхэффективном оценщике». Журнал статистического планирования и вывода. 12: 259–263. Дои:10.1016/0378-3758(85)90074-6.
• Stoica, P .; Оттерстен, Б. (1996). «Зло сверхэффективности». Обработка сигналов. 55: 133–136. Дои:10.1016 / S0165-1684 (96) 00159-4.
• Ваарт, А. В. ван дер (1998). Асимптотическая статистика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-78450-4.