Парадокс Хуперса - Hoopers paradox - Wikipedia

Парадокс Хупера

Парадокс Хупера это фальшивый парадокс основанный на оптической иллюзии. Геометрическая фигура площадью 32 единицы делится на четыре части, которые затем собираются в прямоугольник площадью всего 30 единиц.

Объяснение

объяснение парадокса Хупера, коричневый параллелограмм является перекрывающейся областью двух треугольников

При внимательном рассмотрении можно заметить, что треугольники рассеченной формы не идентичны треугольникам в прямоугольнике. Длина более короткой стороны под прямым углом составляет 2 единицы в исходной форме, но только 1,8 единицы в прямоугольнике. Это означает, что настоящие треугольники исходной формы перекрываются в прямоугольнике. Область перекрытия представляет собой параллелограмм, диагонали и стороны которого можно вычислить с помощью теорема Пифагора.

${\displaystyle d_{1}={\sqrt {2^{2}+1^{2}}}={\sqrt {5}}}$

${\displaystyle d_{2}={\sqrt {3^{2}+10^{2}}}={\sqrt {109}}}$

${\displaystyle s_{1}={\sqrt {2^{2}+6^{2}}}={\sqrt {40}}}$

${\displaystyle s_{2}={\sqrt {1^{2}+4^{2}}}={\sqrt {17}}}$

Площадь этого параллелограмма можно определить с помощью Формула Герона для треугольников. Это дает

${\displaystyle s={\frac {d_{1}+s_{1}+s_{2}}{2}}={\frac {{\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}}}{2}}}$

для половинной длины окружности треугольника (половины параллелограмма) и для площади параллелограмма

${\displaystyle {\begin{aligned}F&=2\cdot {\sqrt {s\cdot (s-s_{1})\cdot (s-s_{2})\cdot (s-d_{1})}}\\[5pt]&=2\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {({\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}})\cdot (-{\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}})\cdot ({\sqrt {5}}-{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}})\cdot ({\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}-{\sqrt {40}})}}\\[5pt]&=2\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {16}}\\[5pt]&=2\end{aligned}}}$.

Таким образом, площадь перекрытия двух треугольников составляет в точности исчезнувшую площадь в 2 единицы.

История

Уильям Хупер опубликовал парадокс 1774 года в своей книге Рациональные развлечения в котором он назвал это Геометрические деньги. В издании 1774 года его книги все еще был фальшивый рисунок, который был исправлен в издании 1782 года. Однако Хупер не был первым, кто опубликовал это геометрическое заблуждение, поскольку книга Хупера была в значительной степени адаптацией Эдме-Жиль Гийо с Nouvelles récréations Physiques et Mathétiques, который был опубликован во Франции в 1769 году. Описание в этой книге содержит тот же фальшивый рисунок, что и в книге Хупера, но оно было исправлено и в более позднем издании.

Рекомендации

• Мартин Гарднер: Математика, магия и тайна. Курьер (Дувр), 1956 г. ISBN  9780486203355, С. 129–155
• Грег Н. Фредериксон: Разделы: плоскость и фантазия. Издательство Кембриджского университета, 2003 г., ISBN  9780521525824, глава 23, стр. 268–277, в частности стр. 271–274 (онлайн-обновление до главы 23 )
• Саймон Во время: Современные чары: культурная сила светской магии. Издательство Гарвардского университета, 2004 г., ISBN  978-0674013711, п. 87
• Уильям Хупер: Рациональные развлечения. Лондон, 1774, стр. 286–287 (ошибочное 1-е издание)
• Уильям Хупер: Рациональные развлечения. Лондон, 1782, стр. 286–287 (исправленное 2-е издание)

внешняя ссылка

• Парадокс Хупера: как это возможно? auf cut-the-knot.org
• Мариано Томатис: Проклятие хрустальных черепов и другие головоломки с исчезновением