Оператор домовладельца - Householder operator - Wikipedia

В линейная алгебра, то Домохозяин оператор определяется следующим образом. Позволять ${\displaystyle V\,}$ быть конечномерным внутреннее пространство продукта с внутренний продукт ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ и единичный вектор ${\displaystyle u\in V}$. потом

${\displaystyle H_{u}:V\to V\,}$

определяется

${\displaystyle H_{u}(x)=x-2\,\langle x,u\rangle \,u\,}$

Этот оператор отражает вектор ${\displaystyle x}$ через плоскость, заданную вектором нормали ${\displaystyle u}$.^[1]

Также часто выбирают неединичный вектор ${\displaystyle q\in V}$, и нормализовать его прямо в выражении оператора Хаусхолдера

${\displaystyle H_{q}\left(x\right)=x-2\,{\frac {\langle x,q\rangle }{\langle q,q\rangle }}\,q\,}$

Характеристики

Оператор Householder проверяет следующие свойства:

• это линейный ; если ${\displaystyle V}$ векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, тогда

${\displaystyle \forall \left(\lambda ,\mu \right)\in K^{2},\,\forall \left(x,y\right)\in V^{2},\,H_{q}\left(\lambda x+\mu y\right)=\lambda \ H_{q}\left(x\right)+\mu \ H_{q}\left(y\right)}$

• самосопряженный
• если ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$, это ортогональный ; в противном случае, если ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ это унитарный.

Особые случаи

Над реальным или сложным векторное пространство, оператор Householder также известен как Преобразование домохозяина.

Рекомендации

1. Методы прикладной математики для инженеров и ученых. Издательство Кембриджского университета. С. Раздел E.4.11. ISBN  9781107244467.