Гипергеометрическая идентичность - Hypergeometric identity

Относительно тождеств, которым удовлетворяет гипергеометрическая функция, см. Список гипергеометрических тождеств.

В математика, гипергеометрические тождества суть равенства с суммами по гипергеометрическим членам, т.е. коэффициенты, входящие в гипергеометрический ряд. Эти идентичности часто встречаются в решениях комбинаторный проблемы, а также в анализ алгоритмов.

Эти идентичности традиционно находили «вручную». Сейчас существует несколько алгоритмов, которые могут найти и доказать все гипергеометрические тождества.

Примеры

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k{n \choose k}=n2^{n-1}}$

${\displaystyle \sum _{i=n}^{N}i{i \choose n}=(n+1){N+2 \choose n+2}-{N+1 \choose n+1}}$

Определение

Есть два определения гипергеометрических терминов, которые используются в разных случаях, как описано ниже. Смотрите также гипергеометрический ряд.

Термин т_k является гипергеометрическим членом, если

${\displaystyle {\frac {t_{k+1}}{t_{k}}}}$

это рациональная функция в k.

Термин F (n, k) является гипергеометрическим членом, если

${\displaystyle {\frac {F(n,k+1)}{F(n,k)}}}$

является рациональной функцией в k.

Существует два типа сумм по гипергеометрическим членам: определенная и неопределенная суммы. Определенная сумма имеет вид

${\displaystyle \sum _{k}t_{k}.}$

Неопределенная сумма имеет вид

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F(n,k).}$

Доказательства

Хотя в прошлом^{[кто? ]} нашел доказательства определенных личностей^{[расплывчатый ]} существует несколько алгоритмов^{[расплывчатый ]} найти и подтвердить личности. Эти алгоритмы сначала находят простое выражение на сумму сверхгеометрических терминов, а затем предоставить сертификат, который любой может использовать, чтобы легко проверить и подтвердить правильность личности.

Для каждого типа гипергеометрической суммы существует один или несколько способов найти простое выражение. Эти методы также предоставляют сертификат для простой проверки удостоверения личности:

• Определенные суммы: Метод сестры Селин, алгоритм Зейльбергера.
• Бесконечные суммы: Алгоритм госпера

Книга под названием А = В был написан Марко Петковшек, Герберт Уилф и Дорон Зейлбергер описывая три основных подхода, описанных выше.

Смотрите также

• Таблица ньютоновских рядов

внешние ссылки

• Книга "А = Б", эту книгу можно бесплатно загрузить из Интернета.
• Примеры специальных функций на exampleproblems.com