Интенсивность (теория меры) - Intensity (measure theory)

В математической дисциплине теория меры, то интенсивность из мера - среднее значение, которое мера присваивает интервалу длиной один.

Определение

Позволять ${\displaystyle \mu }$ быть мерой действительного числа. Тогда интенсивность ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ из ${\displaystyle \mu }$ определяется как

${\displaystyle {\overline {\mu }}:=\lim _{|t|\to \infty }{\frac {\mu ((-s,t-s])}{t}}}$

если предел существует и не зависит от ${\displaystyle s}$ для всех ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$

Пример

Посмотрите на Мера Лебега ${\displaystyle \lambda }$. Тогда для фиксированного ${\displaystyle s}$, это

${\displaystyle \lambda ((-s,t-s])=(t-s)-(-s)=t,}$

так

${\displaystyle {\overline {\lambda }}:=\lim _{|t|\to \infty }{\frac {\lambda ((-s,t-s])}{t}}=\lim _{|t|\to \infty }{\frac {t}{t}}=1.}$

Следовательно, мера Лебега имеет интенсивность.

Характеристики

Набор всех мер ${\displaystyle M}$ для которого интенсивность хорошо определена, является измеримым подмножеством множества всех мер на ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Отображение

${\displaystyle I\colon M\to \mathbb {R} }$

определяется

${\displaystyle I(\mu )={\overline {\mu }}}$

является измеримый.

Рекомендации

• Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Спрингер. п. 173. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.