Теорема о пересечении - Intersection theorem - Wikipedia

Эта статья о проективной геометрии. Для результата на тензорные произведения из модули, видеть Гомологические гипотезы коммутативной алгебры.

В проективная геометрия, теорема пересечения или же теорема инцидентности заявление относительно структура заболеваемости - состоящие из точек, линий и, возможно, объектов более высокой размерности и их падения - вместе с парой объектов А и B (например, точка и линия). "теорема "утверждает, что всякий раз, когда набор объектов удовлетворяет инцидентности (т.е. могут быть отождествлены с объектами структуры инцидентности таким образом, что инцидентность сохраняется), то объекты А и B тоже должно быть инцидентом. Теорема о пересечении не обязательно верна во всех проективных геометриях; это свойство, которому удовлетворяют одни геометрии, а другие нет.

Например, Теорема дезарга можно сформулировать, используя следующую структуру инцидентности:

• Точки: ${\displaystyle \{A,B,C,a,b,c,P,Q,R,O\}}$
• Линии: ${\displaystyle \{AB,AC,BC,ab,ac,bc,Aa,Bb,Cc,PQ\}}$
• Случаи (в дополнение к очевидным, таким как ${\displaystyle (A,AB)}$): ${\displaystyle \{(O,Aa),(O,Bb),(O,Cc),(P,BC),(P,bc),(Q,AC),(Q,ac),(R,AB),(R,ab)\}}$

Смысл тогда ${\displaystyle (R,PQ)}$- этот момент р инцидент с линией PQ.

Известные примеры

Теорема дезарга выполняется в проективной плоскости п если и только если п проективная плоскость над некоторыми делительное кольцо (тело) D — ${\displaystyle P=\mathbb {P} _{2}D}$. Тогда проективная плоскость называется десарговский Теорема Амицур и Бергман утверждает, что в контексте дезарговых проективных плоскостей для каждой теоремы о пересечении существует рациональная идентичность такой, что самолет п удовлетворяет теореме о пересечении тогда и только тогда, когда тело D удовлетворяет рациональному тождеству.

• Теорема Паппа о шестиугольнике в дезарговой проективной плоскости ${\displaystyle \mathbb {P} _{2}D}$ если и только если D это поле; это соответствует идентичности ${\displaystyle \forall a,b\in D,\quad a\cdot b=b\cdot a}$.
• Аксиома Фано (который утверждает, что определенное пересечение нет случается) держится в ${\displaystyle \mathbb {P} _{2}D}$ если и только если D имеет характеристика ${\displaystyle \neq 2}$; это соответствует идентичности а + а = 0.

Рекомендации

• Роуэн, Луи Галле, изд. (1980). Полиномиальные тождества в теории колец. Чистая и прикладная математика. 84. Академическая пресса. Дои:10.1016 / s0079-8169 (08) x6032-5. ISBN  9780125998505.
• Амицур, С. А. (1966). «Рациональные тождества и приложения к алгебре и геометрии». Журнал алгебры. 3 (3): 304–359. Дои:10.1016/0021-8693(66)90004-4.