Инвариантное многообразие - Invariant manifold

В динамические системы, филиал математика, инвариантное многообразие это топологическое многообразие инвариантный относительно действия динамической системы.^[1] Примеры включают медленный коллектор, центральный коллектор, стабильное многообразие, неустойчивый коллектор, субцентровое многообразие и инерционный коллектор.

Обычно, хотя далеко не всегда, инвариантные многообразия строятся как «возмущение» инвариантное подпространство В диссипативных системах инвариантное многообразие, основанное на наиболее серьезных и длительных модах, образует эффективную низкоразмерную редуцированную модель динамики.^[2]

Определение

Рассмотрим дифференциальное уравнение ${ Displaystyle dx / dt = е (х), х in mathbb {R} ^ {n},}$ с потоком ${ Displaystyle х (т) = фи _ {т} (х_ {0})}$ являющееся решением дифференциального уравнения с ${ Displaystyle х (0) = х_ {0}}$ . Множество ${ Displaystyle S подмножество mathbb {R} ^ {n}}$ называется инвариантный набор для дифференциального уравнения, если для каждого ${ displaystyle x_ {0} in S}$ , решение ${ Displaystyle т mapsto phi _ {t} (x_ {0})}$ , определенная на максимальном интервале своего существования, имеет свой образ в ${ displaystyle S}$ . В качестве альтернативы, проход по орбите через каждый ${ displaystyle x_ {0} in S}$ лежит в ${ displaystyle S}$ . К тому же, ${ displaystyle S}$ называется инвариантное многообразие если ${ displaystyle S}$ это многообразие.^[3]

Примеры

Простая 2D динамическая система

Для любого фиксированного параметра ${ displaystyle a}$ , рассмотрим переменные ${ Displaystyle х (т), у (т)}$ регулируется парой связанных дифференциальных уравнений

{ displaystyle dx / dt = ax-xy quad { text {and}} quad dy / dt = -y + x ^ {2} -2y ^ {2}.}

Происхождение - это равновесие. Эта система имеет два инвариантных многообразия, представляющих интерес через начало координат.

Вертикальная линия ${ displaystyle x = 0}$ инвариантен, как когда ${ displaystyle x = 0}$ то ${ displaystyle x}$ -уравнение становится ${ displaystyle dx / dt = 0}$ что обеспечивает ${ displaystyle x}$ остается нулевым. Это инвариантное многообразие, ${ displaystyle x = 0}$ , это стабильное многообразие происхождения (когда ${ displaystyle a geq 0}$ ) как все начальные условия ${ Displaystyle х (0) = 0, y (0)> - 1/2}$ приводят к решениям, асимптотически приближающимся к нулю.
Парабола ${ Displaystyle у = х ^ {2} / (1 + 2а)}$ инвариантен для всех параметров ${ displaystyle a}$ . Эту инвариантность можно увидеть, рассматривая производную по времени ${ displaystyle d / dt [y-x ^ {2} / (1 + 2a)]}$ и обнаружив, что это ноль на ${ Displaystyle у = х ^ {2} / (1 + 2a)}$ как и требуется для инвариантного многообразия. Для ${ displaystyle a> 0}$ эта парабола является неустойчивым многообразием начала координат. Для ${ displaystyle a = 0}$ эта парабола центральный коллектор, точнее медленный коллектор, происхождения.
Для ${ displaystyle a <0}$ есть только инвариант стабильное многообразие о начале координат, устойчивое многообразие, включающее все ${ Displaystyle (х, у), у> -1/2}$ .

Инвариантные многообразия в неавтономных динамических системах

Дифференциальное уравнение

{ Displaystyle dx / dt = е (х, т), х in mathbb {R} ^ {n}, t in mathbb {R},}

представляет неавтономная динамическая система, решения которого имеют вид ${ Displaystyle х (т; т_ {0}, х_ {0}) = фи _ {т_ {0}} ^ {т} (х_ {0})}$ с участием ${ displaystyle x (t_ {0}; t_ {0}, x_ {0}) = x_ {0}}$ . В расширенном фазовом пространстве ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R}}$ такой системы любая начальная поверхность ${ Displaystyle M_ {0} subset mathbb {R} ^ {n}}$ порождает инвариантное многообразие

{ displaystyle { mathcal {M}} = cup _ {t in mathbb {R}} phi _ {t_ {0}} ^ {t} (M_ {0}).}

Таким образом, возникает фундаментальный вопрос: как найти из этого большого семейства инвариантных многообразий те, которые имеют наибольшее влияние на общую динамику системы. Эти наиболее влиятельные инвариантные многообразия в расширенном фазовом пространстве неавтономных динамических систем известны как Лагранжевы когерентные структуры..^[4]

Смотрите также

использованная литература

^ Хирш М.В., Пью К.С., Шуб М., Инвариантные многообразия, Lect. Заметки. Math., 583, Шпрингер, Берлин - Гейдельберг, 1977
^ А. Дж. Робертс. Полезность инвариантного многообразного описания эволюции динамической системы. SIAM J. Math. Анал., 20: 1447–1458, 1989. http://locus.siam.org/SIMA/volume-20/art_0520094.html В архиве 2008-08-20 на Wayback Machine
^ С. Чикон. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями, том 34 текстов по прикладной математике. Springer, 2006, стр.34.
^ Галлер, Г. (2015). «Лагранжевы когерентные структуры». Ежегодный обзор гидромеханики. 47 (1): 137–162. Bibcode:2015АнРФМ..47..137H. Дои:10.1146 / аннурьев-жидкость-010313-141322.

[1] Хирш М.В., Пью К.С., Шуб М., Инвариантные многообразия, Lect. Заметки. Math., 583, Шпрингер, Берлин - Гейдельберг, 1977

[2] А. Дж. Робертс. Полезность инвариантного многообразного описания эволюции динамической системы. SIAM J. Math. Анал., 20: 1447–1458, 1989. http://locus.siam.org/SIMA/volume-20/art_0520094.html В архиве 2008-08-20 на Wayback Machine

[3] С. Чикон. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями, том 34 текстов по прикладной математике. Springer, 2006, стр.34.

[Haller2015-4] Галлер, Г. (2015). «Лагранжевы когерентные структуры». Ежегодный обзор гидромеханики. 47 (1): 137–162. Bibcode:2015АнРФМ..47..137H. Дои:10.1146 / аннурьев-жидкость-010313-141322.

[1]

[2]

[3]

[4]