Ионно-акустическая волна - Ion acoustic wave

В физика плазмы, ионно-акустическая волна это один из видов продольный колебание ионы и электроны в плазма, так же, как акустические волны путешествовать на нейтральном газе. Однако, поскольку волны распространяются через положительно заряженные ионы, ионно-звуковые волны могут взаимодействовать со своими электромагнитные поля, а также простые коллизии. В плазме ионно-звуковые волны часто называют акустическими волнами или даже просто звуковыми волнами. Обычно они управляют эволюцией плотности массы, например, из-за градиенты давления, на шкалах времени больше, чем частота, соответствующая соответствующему масштабу длины. Ионно-акустические волны могут возникать в немагниченной плазме или в замагниченной плазме, параллельной плазме. магнитное поле. Для плазмы одного вида ионов и в длина волны предел, волны бездисперсионный (${\displaystyle \omega =v_{s}k}$) со скоростью, задаваемой (см. вывод ниже)

${\displaystyle v_{s}={\sqrt {\frac {\gamma _{e}ZK_{B}T_{e}+\gamma _{i}K_{B}T_{i}}{M}}}}$

куда ${\displaystyle K_{B}}$ является Постоянная Больцмана, ${\displaystyle M}$ - масса иона, ${\displaystyle Z}$ это его заряд, ${\displaystyle T_{e}}$ - температура электронов и ${\displaystyle T_{i}}$ - температура ионов. Обычно γ_е принимается за единицу на том основании, что теплопроводность электронов достаточно велики, чтобы удерживать их изотермический на шкале времени ионно-звуковых волн, а γ_я принимается равным 3, что соответствует одномерному движению. В бесстолкновительный В плазме электроны часто намного горячее, чем ионы, и в этом случае вторым членом числителя можно пренебречь.

Вывод

Мы выводим уравнение дисперсии ионно-звуковой волны для линеаризованного жидкостного описания плазмы с электронами и ${\textstyle N}$ ионные виды. Запишем каждую величину как ${\displaystyle X=X_{0}+\delta \cdot X_{1}}$где нижний индекс 0 обозначает постоянное равновесное значение "нулевого порядка", а 1 обозначает возмущение первого порядка. ${\displaystyle \delta }$ является параметром порядка для линеаризации и имеет физическое значение 1. Для линеаризации мы балансируем все члены в каждом уравнении того же порядка в ${\displaystyle \delta }$. Термины, включающие только количества с индексом 0, имеют порядок ${\displaystyle \delta ^{0}}$и должны быть сбалансированы, а условия с одним нижним индексом-1 количество все в порядке ${\displaystyle \delta ^{1}}$и баланс. Считаем электрическое поле порядком-1 (${\displaystyle {\vec {E}}_{0}=0}$) и пренебречь магнитными полями,

Каждый вид ${\displaystyle s}$ описывается массой ${\displaystyle m_{s}}$, обвинять ${\displaystyle q_{s}=Z_{s}e}$, числовая плотность ${\displaystyle n_{s}}$, скорость потока ${\displaystyle {\vec {u}}_{s}}$, и давление ${\displaystyle p_{s}}$. Мы предполагаем, что возмущения давления для каждого вида Политропный процесс, а именно ${\displaystyle p_{s1}=\gamma _{s}T_{s0}n_{s1}}$ для видов ${\displaystyle s}$. Чтобы обосновать это предположение и определить значение ${\displaystyle \gamma _{s}}$, необходимо использовать кинетическую трактовку, которая решает функции распределения частиц в пространстве скоростей. Допущение политропии по существу заменяет уравнение энергии.

Каждый вид удовлетворяет уравнению неразрывности

$${\displaystyle \partial _{t}n_{s}+\nabla \cdot (n_{s}{\vec {u}}_{s})=0}$$

и уравнение импульса

${\displaystyle \partial _{t}{\vec {u}}_{s}+{\vec {u}}_{s}\cdot \nabla {\vec {u}}_{s}={Z_{s}e \over m_{s}}{\vec {E}}-{\nabla p_{s} \over n_{s}}}$.

Теперь мы линеаризуем и работаем с уравнениями первого порядка. Поскольку мы не работаем с ${\displaystyle T_{s1}}$из-за политропного предположения (но мы делаем нет предположим, что он равен нулю), чтобы облегчить обозначения, мы используем ${\displaystyle T_{s}}$за ${\displaystyle T_{s0}}$. Используя уравнение неразрывности иона, уравнение импульса иона принимает вид

${\displaystyle (-m_{i}\partial _{tt}+\gamma _{i}T_{i}\nabla ^{2})n_{i1}=Z_{i}en_{i0}\nabla \cdot {\vec {E}}_{1}}$

Свяжем электрическое поле ${\displaystyle {\vec {E}}_{1}}$ к плотности электронов уравнением количества движения электрона:

${\displaystyle n_{e0}m_{e}\partial _{t}{\vec {v}}_{e1}=-n_{e0}e{\vec {E}}_{1}-\gamma _{e}T_{e}\nabla n_{e1}}$

Теперь мы пренебрегаем левой частью, которая связана с инерцией электронов. Это справедливо для волн с частотами много меньше плазменной частоты электронов. ${\displaystyle (n_{e0}e^{2}/\epsilon _{0}m_{e})^{1/2}}$. Это хорошее приближение для ${\displaystyle m_{i}\gg m_{e}}$, например, ионизированное вещество, но не для таких ситуаций, как электронно-дырочная плазма в полупроводниках или электрон-позитронная плазма. Результирующее электрическое поле равно

${\displaystyle {\vec {E}}_{1}=-{\gamma _{e}T_{e} \over n_{e0}e}\nabla n_{e1}}$

Поскольку мы уже решили для электрического поля, мы также не можем найти его из уравнения Пуассона. Уравнение импульса иона теперь связывает ${\displaystyle n_{i1}}$ для каждого вида ${\displaystyle n_{e1}}$:

${\displaystyle (-m_{i}\partial _{tt}+\gamma _{i}T_{i}\nabla ^{2})n_{i1}=-\gamma _{e}T_{e}\nabla ^{2}n_{e1}}$

Мы приходим к дисперсионному соотношению через уравнение Пуассона:

${\displaystyle {\epsilon _{0} \over e}\nabla \cdot {\vec {E}}_{1}=\left[\sum _{i=1}^{N}n_{i0}Z_{i}-n_{ne0}\right]+\left[\sum _{i=1}^{N}n_{i1}Z_{i}-n_{e1}\right]}$

Первый член в квадратных скобках справа равен нулю по предположению (равновесие с нейтральным зарядом). Подставляем электрическое поле и переставляем, чтобы найти

${\displaystyle (1-\gamma _{e}\lambda _{De}^{2}\nabla ^{2})n_{e1}=\sum _{i=1}^{N}Z_{i}n_{i1}}$.

${\displaystyle \lambda _{De}^{2}\equiv \epsilon _{0}T_{e}/(n_{e0}e^{2})}$ определяет длину Дебая электрона. Второй член слева возникает из ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}}$ член и отражает степень, в которой возмущение не является нейтральным по заряду. Если ${\displaystyle k\lambda _{De}}$ мала, мы можем отказаться от этого термина. Это приближение иногда называют приближением плазмы.

Теперь мы работаем в пространстве Фурье и записываем каждое поле порядка 1 как ${\displaystyle X_{1}={\tilde {X}}_{1}\exp i({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)+c.c.}$ Опускаем тильду, поскольку теперь все уравнения применимы к амплитудам Фурье, и находим

${\displaystyle n_{i1}=\gamma _{e}T_{e}Z_{i}{n_{i0} \over n_{e0}}[m_{i}v_{s}^{2}-\gamma _{i}T_{i}]^{-1}n_{e1}}$

${\displaystyle v_{s}=\omega /k}$ - фазовая скорость волны. Подставляя это в уравнение Пуассона, мы получаем выражение, в котором каждый член пропорционален ${\displaystyle n_{e1}}$. Чтобы найти дисперсионное соотношение для естественных мод, ищем решения для ${\displaystyle n_{e1}}$ ненулевое и найти:

${\displaystyle \gamma _{e}T_{e}\left\langle {Z_{i}^{2} \over m_{i}v_{s}^{2}-\gamma _{i}T_{i}}\right\rangle =\langle Z_{i}\rangle (1+\gamma _{e}k^{2}\lambda _{De}^{2})}$.

(dispgen)

${\displaystyle n_{i1}=f_{i}n_{I1}}$ куда ${\displaystyle n_{I1}=\Sigma _{i}n_{i1}}$, поэтому доли ионов удовлетворяют ${\displaystyle \Sigma _{i}f_{i}=1}$, и ${\displaystyle \langle X_{i}\rangle \equiv \Sigma _{i}f_{i}X_{i}}$ - среднее значение по ионам. Безразмерная версия этого уравнения:

${\displaystyle {\gamma _{e} \over \langle Z_{i}\rangle }\left\langle {Z_{i}^{2}/A_{i} \over u^{2}-\tau _{i}}\right\rangle =1+\gamma _{e}k^{2}\lambda _{De}^{2}}$

с ${\displaystyle A_{i}=m_{i}/m_{u}}$, ${\displaystyle m_{u}}$ атомная единица массы, ${\displaystyle u^{2}=m_{u}v_{s}^{2}/T_{e}}$, и

${\displaystyle \tau _{i}={\gamma _{i}T_{i} \over A_{i}T_{e}}}$

Если ${\displaystyle k\lambda _{De}}$ мала (плазменное приближение), вторым слагаемым в правой части можно пренебречь, и волна бездисперсионная ${\displaystyle \omega =v_{s}k}$ с ${\displaystyle v_{s}}$ не зависит от k.

Отношение дисперсии

Приведенное выше общее дисперсионное уравнение для ионно-звуковых волн можно представить в виде полинома порядка N (для N разновидностей ионов) от ${\displaystyle u^{2}}$. Все корни должны быть действительно положительными, поскольку мы пренебрегли демпфированием. Два признака ${\displaystyle u}$ соответствуют волнам, движущимся вправо и влево. Для одного вида ионов

${\displaystyle v_{s}^{2}={\gamma _{e}Z_{i}T_{e} \over m_{i}}{1 \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}+{\gamma _{i}T_{i} \over m_{i}}={\gamma _{e}Z_{i}T_{e} \over m_{i}}\left[{1 \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}+{\gamma _{i}T_{i} \over Z_{i}\gamma _{e}T_{e}}\right]}$

Теперь рассмотрим несколько разновидностей ионов для общего случая ${\displaystyle T_{i}\ll T_{e}}$. За ${\displaystyle T_{i}=0}$дисперсионное соотношение имеет N-1 вырожденных корней ${\displaystyle u^{2}=0}$, и один ненулевой корень

${\displaystyle v_{s}^{2}(T_{i}=0)\equiv {\gamma _{e}T_{e}/m_{u} \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}{\langle Z_{i}^{2}/A_{i}\rangle \over \langle Z_{i}\rangle }}$

Этот ненулевой корень называется «быстрым режимом», поскольку ${\displaystyle v_{s}}$ обычно больше, чем все тепловые скорости ионов. Приближенное решение для быстрого режима для ${\displaystyle T_{i}\ll T_{e}}$ является

${\displaystyle v_{s}^{2}\approx v_{s}^{2}(T_{i}=0)+{\langle Z_{i}^{2}\gamma _{i}T_{i}/A_{i}^{2}\rangle \over m_{u}\langle Z_{i}^{2}/A_{i}\rangle }}$

N-1 корней, которые равны нулю для ${\displaystyle T_{i}=0}$ называются «медленными режимами», поскольку ${\displaystyle v_{s}}$ может быть сравнимой с тепловой скоростью одного или нескольких видов ионов или меньше ее.

Интересным случаем ядерного синтеза является эквимолярная смесь ионов дейтерия и трития (${\displaystyle f_{D}=f_{T}=1/2}$). Специализируемся на полной ионизации (${\displaystyle Z_{D}=Z_{T}=1}$), равные температуры (${\displaystyle T_{e}=T_{i}}$), показатели политропы ${\displaystyle \gamma _{e}=1,\gamma _{i}=3}$, и пренебречь ${\displaystyle (k\lambda _{De})^{2}}$ вклад. Дисперсионное соотношение становится квадратичным по ${\displaystyle v_{s}^{2}}$, а именно:

${\displaystyle 2A_{D}A_{T}u^{4}-7(A_{D}+A_{T})u^{2}+24=0}$

С помощью ${\displaystyle (A_{D},A_{T})=(2.01,3.02)}$ мы находим два корня ${\displaystyle u^{2}=(1.10,1.81)}$.

Другой интересный случай - это случай с двумя ионами очень разных масс. Примером может служить смесь золота (A = 197) и бора (A = 10,8), которая в настоящее время представляет интерес в хольраумах для исследований лазерного инерционного синтеза. В качестве конкретного примера рассмотрим ${\displaystyle \gamma _{e}=1}$ и ${\displaystyle \gamma _{i}=3,T_{i}=T_{e}/2}$ для обоих видов ионов и зарядовых состояний Z = 5 для бора и Z = 50 для золота. Оставляем атомную долю бора ${\displaystyle f_{B}}$ не указано (примечание ${\displaystyle f_{Au}=1-f_{B}}$). Таким образом, ${\displaystyle {\bar {Z}}=50-45f_{B},\tau _{B}=0.139,\tau _{Au}=0.00761,F_{B}=2.31f_{B}/{\bar {Z}},}$ и ${\displaystyle F_{Au}=12.69(1-f_{B})/{\bar {Z}}}$.

Демпфирование

Ионно-акустические волны затухают как за счет Кулоновские столкновения и без столкновений Демпфирование Ландау. Затухание Ландау происходит как на электронах, так и на ионах, причем относительная важность зависит от параметров.

Смотрите также

• Волны в плазме
• Звук
• Альфвеновская волна
• Магнитозвуковая волна
• Список статей по плазме (физике)

внешняя ссылка

• Различные патенты и статьи, связанные с термоядерным синтезом, IEC, ICC и физикой плазмы.