Изохрон - Isochron

Не путать с Изохрона.

О препарате с торговым наименованием Изохрон см. Динитрат изосорбида.

О методе радиометрического датирования см. Изохронные знакомства.

В математической теории динамические системы, изохрон представляет собой набор начальных условий для системы, которые все приводят к одинаковому долгосрочному поведению.^[1][2]

Математическая изохрона

Вводный пример

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение для решения ${displaystyle y(t)}$ эволюционирует во времени:

${displaystyle {frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{frac {dy}{dt}}=1}$

Этот обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE) нужно два первоначальные условия в, скажем, время ${displaystyle t=0}$. Обозначим первоначальные условия к ${displaystyle y(0)=y_{0}}$ и ${displaystyle dy/dt(0)=y'_{0}}$ куда ${displaystyle y_{0}}$ и ${displaystyle y'_{0}}$ некоторые параметры. Следующее рассуждение показывает, что изохроны для этой системы представляют собой прямые линии ${displaystyle y_{0}+y'_{0}={mbox{constant}}}$.

Общее решение вышеупомянутого ОДУ:

${displaystyle y=t+A+Bexp(-t)}$

Теперь, когда время увеличивается, ${displaystyle t o infty }$, экспоненциальные члены очень быстро убывают до нуля (экспоненциальный спад ). Таким образом все решения ODE быстро подходят ${displaystyle y o t+A}$. То есть, все решения с тем же ${displaystyle A}$ имеют такую ​​же долгосрочную эволюцию. В экспоненциальный спад из ${displaystyle Bexp(-t)}$ срок объединяет множество решений, разделяющих одну и ту же долгосрочную эволюцию. Найдите изохроны, ответив, какие начальные условия имеют одинаковые ${displaystyle A}$.

В начальное время ${displaystyle t=0}$ у нас есть ${displaystyle y_{0}=A+B}$ и ${displaystyle y'_{0}=1-B}$. Алгебраически исключить нематериальную константу ${displaystyle B}$ из этих двух уравнений, чтобы вывести, что все начальные условия ${displaystyle y_{0}+y'_{0}=1+A}$ имеют то же самое ${displaystyle A}$, следовательно, такая же долговременная эволюция и, следовательно, образуют изохрону.

Для точного прогнозирования необходимы изохроны

Обратимся к более интересному применению понятия изохрон. Изохроны возникают при попытке прогнозирования прогнозов на основе моделей динамических систем. Рассмотрим игрушечную систему из двух спаренных обыкновенные дифференциальные уравнения

${displaystyle {frac {dx}{dt}}=-xy{ ext{ and }}{frac {dy}{dt}}=-y+x^{2}-2y^{2}}$

Замечательный математический трюк - нормальная форма (математика) трансформация.^[3] Здесь преобразование координат вблизи начала координат

${displaystyle x=X+XY+cdots { ext{ and }}y=Y+2Y^{2}+X^{2}+cdots }$

к новым переменным ${displaystyle (X,Y)}$ преобразует динамику в разделенную форму

${displaystyle {frac {dX}{dt}}=-X^{3}+cdots { ext{ and }}{frac {dY}{dt}}=(-1-2X^{2}+cdots )Y}$

Следовательно, вблизи начала координат ${displaystyle Y}$ спадает до нуля экспоненциально быстро, так как его уравнение ${displaystyle dY/dt=({ ext{negative}})Y}$. Таким образом, долгосрочная эволюция определяется исключительно ${displaystyle X}$: the ${displaystyle X}$ уравнение - это модель.

Давайте использовать ${displaystyle X}$ уравнение для предсказания будущего. Учитывая некоторые начальные значения ${displaystyle (x_{0},y_{0})}$ исходных переменных: какое начальное значение мы должны использовать для ${displaystyle X(0)}$? Ответ: ${displaystyle X_{0}}$ который имеет такую ​​же долгосрочную эволюцию. В приведенной выше нормальной форме ${displaystyle X}$ развивается независимо от ${displaystyle Y}$. Итак, все начальные условия с одинаковыми ${displaystyle X}$, но разные ${displaystyle Y}$, имеют такую ​​же долгосрочную эволюцию. Исправить ${displaystyle X}$ и варьировать ${displaystyle Y}$ дает искривленные изохроны в ${displaystyle (x,y)}$ самолет. Например, очень близко к началу координат изохроны указанной выше системы примерно соответствуют линиям ${displaystyle x-Xy=X-X^{3}}$. Найдите изохрону начальных значений ${displaystyle (x_{0},y_{0})}$ лежать: эта изохрона характеризуется некоторыми ${displaystyle X_{0}}$; тогда начальное условие, которое дает правильный прогноз модели на все времена, тогда ${displaystyle X(0)=X_{0}}$.

Вы можете найти такие преобразования нормальной формы для относительно простых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, как детерминированных, так и стохастических, на интерактивном веб-сайте.[1]

Рекомендации

1. J. Guckenheimer, Изохроны и бесфазовые множества, J. ​​Math. Биол., 1: 259–273 (1975).
2. С.М. Кокс и А.Дж. Робертс, Начальные условия для моделей динамических систем, Physica D, 85: 126–141 (1995)
3. А.Дж. Робертс, Нормальная форма преобразует отдельные медленные и быстрые режимы в стохастических динамических системах, Physica A: Статистическая механика и ее приложения 387:12–38 (2008)