Изофота - Isophote

эллипсоид с изофотами (красный)

В геометрии изофота кривая на освещенной поверхности, соединяющая точки равной яркости. Предполагается, что освещение осуществляется параллельным светом, а яркость ${ displaystyle b}$ измеряется следующим скалярное произведение:

{ displaystyle b (P) = { vec {n}} (P) cdot { vec {v}} = cos varphi .}

${ displaystyle { vec {n}} (P)}$ это единица нормальный вектор поверхности в точке ${ displaystyle P}$ и ${ displaystyle { vec {v}}}$ единичный вектор направления света. В случае ${ displaystyle b (P) = 0}$ , т.е. свет перпендикулярен нормали к поверхности, точка ${ displaystyle P}$ точка силуэта поверхности, смотрящая в направлении ${ displaystyle { vec {v}}}$ . Яркость 1 означает, что световой вектор перпендикулярен поверхности. На плоскости нет изофот, потому что любая точка имеет одинаковую яркость.

В астрономия изофота - это кривая на фотографии, соединяющая точки равной яркости.^[1]

Применение и пример

В системы автоматизированного проектирования изофоты используются для оптической проверки гладкости стыков поверхностей. Для поверхности (неявной или параметрической), которая достаточно дифференцируема, вектор нормали зависит от первых производных. Отсюда дифференцируемость изофот и их геометрическая непрерывность на 1 меньше, чем у поверхности. Если в точке поверхности непрерывны только касательные плоскости (т. Е. G1-непрерывны), то изофоты имеют там перегиб (т. Е. Только G0-непрерывны).

В следующем примере (см. Диаграмму) два пересекающихся Поверхности Безье смешиваются третьим участком поверхности. На левом изображении поверхность смешивания имеет только G1-контакт с поверхностями Безье, а для правого изображения поверхности имеют G2-контакт. Эту разницу невозможно распознать по картинке. Но геометрическая непрерывность изофот показывает: с левой стороны у них есть изломы (то есть G0-непрерывность), а с правой стороны они гладкие (то есть G1-непрерывность).

Изофоты на двух поверхностях Безье и на G1-непрерывной (слева) и G2-непрерывной (справа) поверхности смешивания: слева изофоты имеют изгибы, а справа - гладкие.

Определение точек изофоты

на неявной поверхности

Для неявная поверхность с уравнением ${ displaystyle f (x, y, z) = 0}$ состояние изофоты

{ displaystyle { frac { nabla f cdot { vec {v}}} {| nabla f |}} = c .}

Это означает: точки изофоты с заданным параметром ${ displaystyle c}$ являются решениями нелинейной системы

${ Displaystyle е (Икс, Y, Z) = 0, qquad nabla f (x, y, z) cdot { vec {v}} - c ; | nabla f (x, y, z ) | = 0 ,}$

которую можно рассматривать как кривую пересечения двух неявных поверхностей. Используя алгоритм отслеживания Bajaj et al. (см. ссылки) можно вычислить многоугольник точек.

на параметрической поверхности

В случае параметрическая поверхность ${ displaystyle { vec {x}} = { vec {S}} (s, t)}$ состояние изофоты

{ displaystyle { frac {({ vec {S}} _ {s} times { vec {S}} _ {t}) cdot { vec {v}}} {| { vec {S }} _ {s} times { vec {S}} _ {t} |}} = c .}

что эквивалентно

${ displaystyle ({ vec {S}} _ {s} times { vec {S}} _ {t}) cdot { vec {v}} - c ; | { vec {S} } _ {s} times { vec {S}} _ {t} | = 0 .}$

Это уравнение описывает неявную кривую в s-t-плоскости, которую можно проследить с помощью подходящего алгоритма (см. неявная кривая ) и преобразован ${ displaystyle { vec {S}} (s, t)}$ в точки поверхности.

Смотрите также

Контурная линия

внешняя ссылка

[1] Дж. Бинни, М. Меррифилд: Галактическая астрономия, Princeton University Press, 1998 г., ISBN 0-691-00402-1, п. 178.

[1]