Представление изотропии - Isotropy representation

В дифференциальной геометрии представление изотропии это естественный линейное представление из Группа Ли, то есть игра актеров на коллекторе, на касательное пространство к фиксированной точке.

Строительство

Учитывая Действие группы Ли ${\displaystyle (G,\sigma )}$ на коллекторе M, если грамм_о это стабилизатор точки о (подгруппа изотропии при о), то для каждого грамм в грамм_о, ${\displaystyle \sigma _{g}:M\to M}$ исправления о и, таким образом, взяв производную в о дает карту ${\displaystyle (d\sigma _{g})_{o}:T_{o}M\to T_{o}M.}$ Посредством Правило цепи,

${\displaystyle (d\sigma _{gh})_{o}=d(\sigma _{g}\circ \sigma _{h})_{o}=(d\sigma _{g})_{o}\circ (d\sigma _{h})_{o}}$

и, таким образом, есть представление:

${\displaystyle \rho :G_{o}\to \operatorname {GL} (T_{o}M)}$

данный

${\displaystyle \rho (g)=(d\sigma _{g})_{o}}$.

Оно называется представлением изотропии при о. Например, если ${\displaystyle \sigma }$ это спряжение действие грамм на себя, то представление изотропии ${\displaystyle \rho }$ в элементе идентичности е это присоединенное представительство из ${\displaystyle G=G_{e}}$.

Рекомендации

• http://www.math.toronto.edu/karshon/grad/2009-10/2010-01-11.pdf
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Isotropy_presentation
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 (Новое изд.). Wiley-Interscience. ISBN  0-471-15733-3.