Координаты Якоби - Jacobi coordinates - Wikipedia

Координаты Якоби для проблема двух тел; Координаты Якоби: ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}}$ с ${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}}$.^[1]

Возможный набор координат Якоби для задачи четырех тел; координаты Якоби: р₁, р₂, р₃ и центр масс р. См. Cornille.^[2]

В теории систем многих частиц Координаты Якоби часто используются для упрощения математической формулировки. Эти координаты особенно распространены при лечении многоатомных молекулы и химические реакции,^[3] И в небесная механика.^[4] Алгоритм генерации координат Якоби для N органы могут основываться на бинарные деревья.^[5] На словах алгоритм описывается следующим образом:^[5]

Позволять м_j и м_k быть массами двух тел, которые заменены новым телом виртуальной массы M = м_j + м_k. Координаты положения Икс_j и Икс_k заменяются их взаимным положением р_jk = Икс_j − Икс_k и вектором к их центру масс р_jk = (м_j q_j + м_kq_k)/(м_j + м_k). Узел в двоичном дереве, соответствующий виртуальному телу, имеет м_j как его правый ребенок и м_k как его левый ребенок. Порядок дочерних элементов указывает относительные точки координат от Икс_k к Икс_j. Повторите вышеуказанный шаг для N - 1 кузов, то есть N - 2 оригинальных тела плюс новое виртуальное тело.

Для Nпроблема тела результат:^[2]

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{j}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ -\ {\boldsymbol {x}}_{j+1}\ ,\quad j\in \{1,2,\dots ,N-1\}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}={\frac {1}{m_{0N}}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ ,}$

с

${\displaystyle m_{0j}=\sum _{k=1}^{j}\ m_{k}\ .}$

Вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}}$ это центр массы всех тел:

Таким образом, в результате остается система N-1 поступательно-инвариантные координаты ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N-1}}$ и координата центра масс ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}}$, от итеративного сокращения систем двух тел в системе многих тел.

Это изменение координат связано с Якобиан равно ${\displaystyle 1}$.

Если кто-то интересуется вычислением оператора свободной энергии в этих координатах, мы получаем

${\displaystyle H_{0}=-\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{2m_{j}}}\,\partial _{{\boldsymbol {x}}_{j}}^{2}=-{\frac {1}{2m_{0N}}}\,\partial _{{\boldsymbol {r}}_{N}}^{2}\!-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}\!\left({\frac {1}{m_{j+1}}}+{\frac {1}{m_{0j}}}\right)\partial _{{\boldsymbol {r}}_{j}}^{2}}$

В расчетах может пригодиться следующее тождество

${\displaystyle \sum _{k=j+1}^{N}{\frac {m_{k}}{m_{0k}m_{0k-1}}}={\frac {1}{m_{0j}}}-{\frac {1}{m_{0N}}}}$.

Рекомендации

1. Дэвид Бетунес (2001). Дифференциальные уравнения. Springer. п. 58; Рисунок 2.15. ISBN  0-387-95140-7.
2. Патрик Корнилл (2003). «Разделение сил с использованием координат Якоби». Продвинутый электромагнетизм и физика вакуума. World Scientific. п. 102. ISBN  981-238-367-0.
3. Джон З. Х. Чжан (1999). Теория и приложения квантовой молекулярной динамики. Всемирный научный. п. 104. ISBN  981-02-3388-4.
4. Например, см. Эдвард Белбруно (2004). Захват динамики и хаотических движений в небесной механике. Princeton University Press. п. 9. ISBN  0-691-09480-2.
5. Хильдеберто Кабрал, Флорин Дьяку (2002). «Приложение A: Канонические преобразования координат Якоби». Классическая и небесная механика. Издательство Принстонского университета. п. 230. ISBN  0-691-05022-8.