Метод Якоби для комплексных эрмитовых матриц - Jacobi method for complex Hermitian matrices

В математике Метод Якоби для комплексных Эрмитовы матрицы является обобщением Метод итераций Якоби. В Метод итераций Якоби также объясняется во «Введение в линейную алгебру» Стрэнг (1993).

Вывод

Комплекс унитарный вращение матрицы р_pq может использоваться для Итерация Якоби сложных Эрмитовы матрицы чтобы найти численную оценку их собственных векторов и собственных значений одновременно.

Подобно Матрицы вращения Гивенса, р_pq определяются как:

${\displaystyle {\begin{aligned}(R_{pq})_{m,n}&=\delta _{m,n}&\qquad m,n\neq p,q,\\[10pt](R_{pq})_{p,p}&={\frac {+1}{\sqrt {2}}}e^{-i\theta },\\[10pt](R_{pq})_{q,p}&={\frac {+1}{\sqrt {2}}}e^{-i\theta },\\[10pt](R_{pq})_{p,q}&={\frac {-1}{\sqrt {2}}}e^{+i\theta },\\[10pt](R_{pq})_{q,q}&={\frac {+1}{\sqrt {2}}}e^{+i\theta }\end{aligned}}}$

Каждая матрица вращения, р_pq, изменит только пй и q-ые строки или столбцы матрицы M если он применяется слева или справа соответственно:

${\displaystyle {\begin{aligned}(R_{pq}M)_{m,n}&={\begin{cases}M_{m,n}&m\neq p,q\\[8pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}(M_{p,n}e^{-i\theta }-M_{q,n}e^{+i\theta })&m=p\\[8pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}(M_{p,n}e^{-i\theta }+M_{q,n}e^{+i\theta })&m=q\end{cases}}\\[8pt](MR_{pq}^{\dagger })_{m,n}&={\begin{cases}M_{m,n}&n\neq p,q\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}(M_{m,p}e^{+i\theta }-M_{m,q}e^{-i\theta })&n=p\\[8pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}(M_{m,p}e^{+i\theta }+M_{m,q}e^{-i\theta })&n=q\end{cases}}\end{aligned}}}$

А Эрмитова матрица, ЧАС определяется свойством сопряженной транспонированной симметрии:

${\displaystyle H^{\dagger }=H\ \Leftrightarrow \ H_{i,j}=H_{j,i}^{*}}$

По определению комплексное сопряжение комплекса унитарный вращение матрица р является его обратным, а также сложным унитарный вращение матрица:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{pq}^{\dagger }&=R_{pq}^{-1}\\[6pt]\Rightarrow \ R_{pq}^{\dagger ^{\dagger }}&=R_{pq}^{-1^{\dagger }}=R_{pq}^{-1^{-1}}=R_{pq}.\end{aligned}}}$

Следовательно, комплексный эквивалент Преобразование Гивенса ${\displaystyle T}$ из Эрмитова матрица ЧАС также Эрмитова матрица похожий на ЧАС:

${\displaystyle {\begin{aligned}T&\equiv R_{pq}HR_{pq}^{\dagger },&&\\[6pt]T^{\dagger }&=(R_{pq}HR_{pq}^{\dagger })^{\dagger }=R_{pq}^{\dagger ^{\dagger }}H^{\dagger }R_{pq}^{\dagger }=R_{pq}HR_{pq}^{\dagger }=T\end{aligned}}}$

Элементы Т можно рассчитать по приведенным выше соотношениям. Важные элементы для Итерация Якоби следующие четыре:

${\displaystyle {\begin{array}{clrcl}T_{p,p}&=&&{\frac {H_{p,p}+H_{q,q}}{2}}&-\ \ \ \mathrm {Re} \{H_{p,q}e^{-2i\theta }\},\\[8pt]T_{p,q}&=&&{\frac {H_{p,p}-H_{q,q}}{2}}&+\ i\ \mathrm {Im} \{H_{p,q}e^{-2i\theta }\},\\[8pt]T_{q,p}&=&&{\frac {H_{p,p}-H_{q,q}}{2}}&-\ i\ \mathrm {Im} \{H_{p,q}e^{-2i\theta }\},\\[8pt]T_{q,q}&=&&{\frac {H_{p,p}+H_{q,q}}{2}}&+\ \ \ \mathrm {Re} \{H_{p,q}e^{-2i\theta }\}.\end{array}}}$

Каждый Итерация Якоби с участием р^J_pq генерирует преобразованную матрицу, Т^J, с участием Т^J_п,q = 0. Матрица вращения р^J_п,q определяется как произведение двух сложных унитарный вращение матрицы.

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{pq}^{J}&\equiv R_{pq}(\theta _{2})\,R_{pq}(\theta _{1}),{\text{ with}}\\[8pt]\theta _{1}&\equiv {\frac {2\phi _{1}-\pi }{4}}{\text{ and }}\theta _{2}\equiv {\frac {\phi _{2}}{2}},\end{aligned}}}$

где фазовые члены, ${\displaystyle \phi _{1}}$ и ${\displaystyle \phi _{2}}$ даны:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \phi _{1}&={\frac {\mathrm {Im} \{H_{p,q}\}}{\mathrm {Re} \{H_{p,q}\}}},\\[8pt]\tan \phi _{2}&={\frac {2|H_{p,q}|}{H_{p,p}-H_{q,q}}}.\end{aligned}}}$

Наконец, важно отметить, что произведение двух комплексных матриц вращения для заданных углов θ₁ и θ₂ не может быть преобразован в единую комплексную унитарную матрицу вращения р_pq(θ). Произведение двух комплексных матриц вращения определяется выражением:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[R_{pq}(\theta _{2})\,R_{pq}(\theta _{1})\right]_{m,n}={\begin{cases}\ \ \ \ \delta _{m,n}&m,n\neq p,q,\\[8pt]-ie^{-i\theta _{1}}\,\sin {\theta _{2}}&m=p{\text{ and }}n=p,\\[8pt]-e^{+i\theta _{1}}\,\cos {\theta _{2}}&m=p{\text{ and }}n=q,\\[8pt]\ \ \ \ e^{-i\theta _{1}}\,\cos {\theta _{2}}&m=q{\text{ and }}n=p,\\[8pt]+ie^{+i\theta _{1}}\,\sin {\theta _{2}}&m=q{\text{ and }}n=q.\end{cases}}\end{aligned}}}$

использованная литература

• Стрэнг, Г. (1993), Введение в линейную алгебру, Массачусетс: Wellesley Cambridge Press.