Какуро - Kakuro

Легкая головоломка Какуро
Решение вышеуказанной головоломки

Какуро или же Каккуро или Какоро (Японский: カ ッ ク ロ) является своего рода логическая головоломка это часто называют математический транслитерация из кроссворд. Головоломки Какуро регулярно появляются во многих публикациях по математике и логике по всему миру. В 1966 г.[1] Канадский Джейкоб Э. Функ, сотрудник Журналы Dell, придумал оригинальное английское название Кросс-суммы [2] и другие имена, такие как Кросс-сложение также использовались, но японское название Какуро, аббревиатура японского Касан Куросу (加 算 ク ロ ス, «сложение креста»), похоже, получил всеобщее признание, и теперь в большинстве публикаций головоломки называются именно так. Популярность Какуро в Японии огромна, уступая только Судоку среди Николи знаменитая логическая головоломка.[2]

В канонический В головоломке Какуро используется сетка из заполненных и заштрихованных ячеек, «черных» и «белых» соответственно. Пазлы обычно имеют размер 16 × 16, хотя эти размеры могут сильно различаться. За исключением верхней строки и крайнего левого столбца, которые полностью черные, сетка делится на «записи» - линии белых ячеек - черными ячейками. Черные ячейки содержат диагональную косую черту от верхнего левого угла до нижнего правого и числа в одной или обеих половинах, так что каждая горизонтальная запись имеет номер в черной половине ячейки слева от нее, а каждая вертикальная запись имеет номер в черная полуклетка непосредственно над ней. Эти числа, заимствованные из кроссвордной терминологии, обычно называются «подсказками».

Задача головоломки - вставить цифру от 1 до 9 включительно в каждую белую ячейку так, чтобы сумма чисел в каждой записи соответствовала связанной с ней подсказке и чтобы ни одна цифра не дублировалась ни в одной записи. Именно отсутствие дублирования делает возможным создание головоломок Какуро с уникальными решениями. Как и в судоку, решение головоломки Какуро требует расследования. комбинации и перестановки. Существует неписаное правило для составления головоломок Какуро, согласно которому каждая подсказка должна иметь по крайней мере два числа, которые складываются в нее, поскольку включение только одного числа математически тривиально при решении головоломок Какуро.

Хотя бы один издатель[3] включает ограничение, что данная комбинация чисел может использоваться только один раз в каждой сетке, но все равно продает головоломки как простые Какуро.

Некоторые издатели предпочитают печатать свои сетки Какуро точно так же, как сетки кроссвордов, без надписей в черных ячейках и вместо этого пронумеровав записи, предоставляя отдельный список подсказок, аналогичный списку подсказок кроссвордов. (Это исключает полностью черные строки и столбцы.) Это чисто проблема изображения и не влияет ни на решение, ни на логику, необходимую для решения.

При обсуждении головоломок и тактик Какуро типичное сокращение для обозначения статьи - «(подсказка цифрами) -в- (количество ячеек в записи, прописано)», например «16-в-два» и «25». -в-пяти ». Исключением является то, что иначе назвали бы «45 из девяти» - используется просто «45», поскольку математически подразумевается «-in-девять» (девять ячеек - это самая длинная возможная запись, и поскольку они не могут дублировать цифра он должен состоять из всех цифр от 1 до 9 один раз). Любопытно, что и «43 из восьми», и «44 из восьми» до сих пор часто называют таковыми, несмотря на то, что суффикс «-in-8» подразумевается одинаково.

Методы решения

Комбинаторные техники

Хотя угадывание методом грубой силы возможно, более эффективным подходом является понимание различных комбинаторных форм, которые записи могут принимать для различных пар ключей и длин записей. Пространство решений может быть сокращено путем разрешения допустимых пересечений горизонтальных и вертикальных сумм или путем рассмотрения необходимых или отсутствующих значений.

Записи с достаточно большими или маленькими подсказками для их длины будут иметь меньшее количество возможных комбинаций для рассмотрения, и путем сравнения их с записями, которые их пересекают, можно будет получить правильную перестановку или ее часть. Самый простой пример - это когда 3-в-двух пересекает 4-в-двух: 3-в-двух должно состоять из «1» и «2» в некотором порядке; 4-в-2 (поскольку «2» не может быть продублирован) должен состоять из «1» и «3» в некотором порядке. Следовательно, их пересечение должно быть «1», единственной общей цифрой.

При решении более длинных сумм есть дополнительные способы найти ключи к поиску правильных цифр. Одним из таких методов было бы отметить, где несколько квадратов вместе имеют общие возможные значения, тем самым исключая возможность того, что другие квадраты в этой сумме могут иметь эти значения. Например, если две подсказки 4 из 2 пересекаются с более длинной суммой, то 1 и 3 в решении должны быть в этих двух квадратах, и эти цифры не могут использоваться где-либо еще в этой сумме.[4]

При решении сумм, которые имеют ограниченное количество наборов решений, это может привести к полезным подсказкам. Например, сумма 30 из семи имеет только два набора решений: {1,2,3,4,5,6,9} и {1,2,3,4,5,7,8}. Если один из квадратов в этой сумме может принимать только значения {8,9} (например, если перекрестная подсказка представляет собой сумму 17 из двух), то это не только становится индикатором того, какой набор решений соответствует этому sum, он исключает возможность того, что любая другая цифра в сумме является одним из этих двух значений, даже до определения, какое из двух значений входит в этот квадрат.

Еще один полезный подход в более сложных головоломках - определить, в какой квадрат входит цифра, удалив другие места в сумме. Если все ключи пересечения суммы имеют много возможных значений, но можно определить, что есть только один квадрат, который может иметь конкретное значение, которое должна иметь рассматриваемая сумма, то какие бы другие возможные значения сумма пересечения не допускала, это пересечение должно быть изолированным значением. Например, сумма 36 из восьми должна содержать все цифры, кроме 9. Если только один из квадратов может принимать значение 2, то это должно быть ответом для этого квадрата.

Коробочная техника

«Техника ячеек» также может применяться в некоторых случаях, когда геометрия незаполненных белых ячеек на любом заданном этапе решения поддается ей: суммируя подсказки для серии горизонтальных входов (вычитая значения любых цифр, уже добавлены к этим записям) и вычитая подсказки для в основном перекрывающихся серий вертикальных записей, разница может выявить значение частичной записи, часто одной ячейки. Этот метод работает, потому что сложение одновременно ассоциативный и коммутативный.

Обычной практикой является пометка потенциальных значений ячеек в углах ячеек до тех пор, пока не будет доказано, что все, кроме одной, невозможно; для особенно сложных головоломок решатели иногда отмечают целые диапазоны значений ячеек в надежде в конечном итоге найти достаточные ограничения для этих диапазонов - от пересекающихся записей, чтобы иметь возможность сузить диапазоны до отдельных значений. Из-за нехватки места вместо цифр некоторые решатели используют позиционную нотацию, где потенциальное числовое значение представлено меткой в ​​определенной части ячейки, что позволяет легко разместить несколько потенциальных значений в одной ячейке. Это также упрощает различение потенциальных значений от значений решения.

Некоторые решатели также используют миллиметровая бумага пробовать различные комбинации цифр, прежде чем записывать их в сетки головоломки.

Как и в случае с судоку, с помощью вышеупомянутых приемов можно решить только относительно простые головоломки Какуро. Более сложные требуют использования различных типов цепочек, таких же, как в судоку (см. Удовлетворение ограничений на основе шаблонов и логические головоломки[5]).

Математика Какуро

Математически головоломки Какуро можно представить в виде целочисленное программирование проблемы, и есть НП-полный.[6] См. Также Yato and Seta, 2004.[7]

В головоломках Какуро есть два вида математической симметрии: минимальные и максимальные ограничения двойственны, равно как и отсутствующие, и требуемые значения.

Все комбинации сумм могут быть представлены с использованием растрового представления. Это представление полезно для определения недостающих и обязательных значений с помощью побитовые логические операции.

Популярность

Головоломки какуро появляются почти в 100 японских журналах и газетах. Какуро оставалось самой популярной логической головоломкой в ​​японской печатной прессе до 1992 года, когда первое место заняла судоку.[8] В Великобритании они впервые появились в Хранитель с Телеграф и Ежедневная почта следующий.[9]

Варианты

Относительно распространенный вариант Какуро - Перекрестные продукты (или же Крестное умножение), где подсказки - это произведение цифр в записях, а не сумма. Журналы Dell выпускали такие головоломки, но также разрешали повторение цифр, кроме 1, из-за ограничений по количеству цифр в каждом продукте в головоломке. Головоломки от Games Magazines больше похожи на кроссворды, позволяющие реализовать правило неповторения цифр.

Другой вариант - это другой диапазон значений, которые вставляются в ячейки, например от 1 до 12, вместо стандартных от 1 до 9.

Подлинной комбинацией судоку и какуро является так называемая «кросс-сумма судоку», в которой подсказки даются в виде перекрестных сумм на стандартной сетке судоку 9 x 9. Соответствующий вариант - это так называемый «Загадочный Какуро», где подсказки даются в алфавитном порядке, а каждое число представляет собой цифру от 1 до 9.

Последняя головоломка квалификации США 2004 года на Чемпионат мира по пазлам называется Перекрестное число Суммы Место: это Кросс-суммы где каждая строка и столбец сетки (за исключением верхней строки и крайнего левого столбца, как обычно) содержат ровно девять белых ячеек, ни одной из которых - даже в нескольких записях - не разрешено использовать одну и ту же цифру дважды, например Номер Место (Судоку ); кроме того, маленькие кружочки печатаются на границах между некоторыми белыми клетками; числовые соседние цифры должны располагаться по обеим сторонам этих кругов и не могут казаться смежными ортогонально, если они не находятся по обе стороны от круга.

Смотрите также

  • Убийца Судоку, вариант судоку, который решается аналогичными методами.

Рекомендации

  1. ^ Тиммерман, Чарльз (2006). Книга испытаний Какуро. Адамс Медиа. п. ix. ISBN  9781598690576. Получено 18 ноября, 2018.
  2. ^ а б «История Какуро». Получено 18 ноября, 2018.
  3. ^ «Судоку от Денкспорта». Keesing Group B.V. Получено 18 ноября, 2018.
  4. ^ «Правила Какуро». Получено 18 ноября, 2018.
  5. ^ Бертье, Дени (5 апреля 2013 г.). «Удовлетворение ограничений на основе шаблонов и логические головоломки». arXiv:1304.1628 [cs.AI ].
  6. ^ Такахиро, Сета (5 февраля 2002 г.). «Сложности головоломок, кросс-сумма и другие задачи их решения (ASP)» (PDF). Получено 18 ноября, 2018.
  7. ^ Ято, Такаяки; Сета, Такахиро (2004). «Сложность и полнота поиска другого решения и его применение к головоломкам» (PDF). Получено 18 ноября, 2018. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  8. ^ "Что такое Какуро". Получено 18 ноября, 2018.
  9. ^ "История Какуро". Получено 18 ноября, 2018.

внешняя ссылка