Предел Кантровица - Kantrowitz limit - Wikipedia

В газовой динамике Кантровиц предел относится к теоретической концепции, описывающей подавленный поток на сверхзвуковых или близких к сверхзвуковых скоростях.^[1] Когда жидкость площадь поперечного сечения потока уменьшается, скорость потока увеличивается, чтобы поддерживать тот же массовый расход в соответствии с уравнение неразрывности. Если поток, близкий к сверхзвуковому, испытывает сжатие области, скорость потока будет увеличиваться, пока не достигнет локальной скорости звука, и поток будет задохнулся. Это принцип, лежащий в основе предела Кантровица: это максимальная величина сжатия, которую поток может испытывать до того, как поток закроется, и скорость потока больше не может быть увеличена выше этого предела, независимо от изменений давления на входе или выходе.

Вывод предела Кантровица

Предположим, что жидкость входит во внутреннее сжимающееся сопло в поперечном сечении 0 и проходит через горловину меньшей площади в поперечном сечении 4. A нормальный шок считается, что начинается в начале сжатия сопла, и эта точка в сопле называется поперечным сечением 2. Из-за сохранения массы внутри сопла массовый расход в каждом поперечном сечении должен быть равен:

${\displaystyle {\dot {m}}_{0}={\dot {m}}_{2}={\dot {m}}_{4}}$

Для идеальный сжимаемый газ, массовый расход в каждом поперечном сечении можно записать как,^[2]

${\displaystyle {\dot {m}}_{0}={\sqrt {\frac {\gamma }{R}}}M_{0}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{0}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}{\frac {p_{t0}A_{0}}{\sqrt {T_{t0}}}}}$

${\displaystyle {\dot {m}}_{4}={\sqrt {\frac {\gamma }{R}}}M_{4}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{4}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}{\frac {p_{t4}A_{4}}{\sqrt {T_{t4}}}}}$

куда ${\textstyle A}$ - площадь поперечного сечения в указанной точке, ${\textstyle \gamma }$ это Коэффициент изэнтропического расширения газа, ${\textstyle M}$ это число Маха потока в указанном сечении, ${\textstyle R}$ это постоянная идеального газа, ${\textstyle p_{t}}$ это давление застоя, и ${\textstyle T_{t}}$ это температура застоя.

Устанавливая одинаковые массовые расходы на входе и в горловине и признавая, что общая температура, отношение удельных теплоемкостей и газовая постоянная постоянны, сохранение массы упрощается до:

${\displaystyle M_{0}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{0}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}p_{t0}A_{0}=M_{4}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{4}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}p_{t4}A_{4}}$

Решение для А₄/ А₀,

${\displaystyle {\frac {A_{4}}{A_{0}}}={\frac {M_{0}}{M_{4}}}{\frac {p_{t0}}{p_{t4}}}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{0}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{4}^{2}}}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}}$

Будут сделаны три предположения: течение из-за скачка уплотнения на входе изоэнтропическое, или п_t4 = p_t2 , поток в горловине (точка 4) такой звуковой, что M₄ = 1, а давления между различными точками связаны через отношения нормального скачка уплотнения, в результате чего получается следующее соотношение между давлением на входе и давлением в горловине:^[1]

${\displaystyle {\frac {p_{t0}}{p_{t4}}}=\left[{\frac {(\gamma +1)M_{0}^{2}}{(\gamma -1)M_{0}^{2}+2}}\right]^{\frac {-\gamma }{\gamma -1}}\left[{\frac {\gamma +1}{2\gamma M_{0}^{2}-(\gamma -1)}}\right]^{\frac {-1}{\gamma -1}}}$

И с тех пор M₄ = 1, ударные отношения в горловине упрощаются до,^[2]

${\displaystyle M_{4}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{4}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}=\left({\frac {\gamma +1}{2}}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}}$

Замена на ${\textstyle M_{4}}$ и ${\textstyle {\frac {p_{t0}}{p_{t4}}}}$ в выражении отношения площадей дает,

${\displaystyle {\frac {A_{4}}{A_{0}}}=M_{0}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{0}^{2}}{\frac {\gamma +1}{2}}}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}\left[{\frac {(\gamma +1)M_{0}^{2}}{(\gamma -1)M_{0}^{2}+2}}\right]^{\frac {-\gamma }{\gamma -1}}\left[{\frac {\gamma +1}{2\gamma M_{0}^{2}-(\gamma -1)}}\right]^{\frac {-1}{\gamma -1}}}$

Это также можно записать как,^[3]

${\displaystyle {\frac {A_{4}}{A_{0}}}=M_{0}\left({\frac {\gamma +1}{2+(\gamma -1)M_{0}^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}\left[{\frac {(\gamma +1)M_{0}^{2}}{(\gamma -1)M_{0}^{2}+2}}\right]^{\frac {-\gamma }{\gamma -1}}\left[{\frac {\gamma +1}{2\gamma M_{0}^{2}-(\gamma -1)}}\right]^{\frac {-1}{\gamma -1}}}$

Приложения

Предел Кантровица имеет множество приложений в газовая динамика входящего потока, в том числе реактивные двигатели и ракеты работающие на высоких дозвуковых и сверхзвуковой скоростей и высокоскоростных транспортных систем, таких как Hyperloop.

Hyperloop

Предел Кантровица является фундаментальным понятием Hyperloop, концепция высокоскоростного транспорта, недавно предложенная Илон Маск для быстрого транзита между густонаселенными парами городов на расстоянии около 1 600 км друг от друга.^[4] Hyperloop перемещает пассажиров в герметичных контейнерах через вакуумную трубку на высоких дозвуковых скоростях. По мере того, как воздух в трубке перемещается в меньшую площадь поперечного сечения между капсулой и трубкой и вокруг нее, поток воздуха должен увеличиваться из-за принцип непрерывности. Если капсула движется через трубку достаточно быстро, поток воздуха вокруг капсулы достигнет скорости звука, и поток станет равным. задохнулся, что приводит к большому сопротивлению воздуха на капсуле. Условие, определяющее, является ли поток вокруг дросселей контейнера, является пределом Кантровица. Таким образом, ограничение Кантровица действует как «ограничение скорости» - для данного соотношения площади трубы и площади гондолы существует максимальная скорость, которую гонд может перемещать, прежде чем обтекание дросселей контейнера и сопротивление воздуха резко возрастут.^[4]

Есть два возможных подхода к тому, чтобы преодолеть ограничение скорости, установленное лимитом Кантровица. В первом случае диаметр трубки увеличится, чтобы обеспечить большую площадь обхода для воздуха вокруг капсулы, предотвращая закупорку потока. Однако это решение не очень практично на практике, так как труба должна быть очень большой, а логистические затраты на такую ​​большую трубу непрактичны.

В качестве альтернативы, во время основного исследования проекта Swissmetro (1993-1998) было обнаружено, что турбина может быть установлена ​​на борту транспортного средства для проталкивания вытесненного воздуха через кузов транспортного средства (TurboSwissMetro).^{[5] [6]} и, следовательно, уменьшить воздействие в дальней зоне. Это позволило бы избежать непрерывного увеличения сопротивления транспортного средства из-за блокировки потока за счет мощности, необходимой для привода турбины, и, следовательно, обеспечить более высокие скорости. Компьютерная программа NUMSTA^(Р) был разработан в этом контексте; он позволяет моделировать динамическое взаимодействие нескольких высокоскоростных транспортных средств в сложных туннельных сетях, включая эффект удушения.

Эта идея также была предложена Илоном Маском в его статье Hyperloop Alpha 2013 года, где компрессор размещается в передней части контейнера.^[4] Компрессор активно втягивает воздух из передней части контейнера и передает его назад, минуя зазор между контейнером и трубкой, при этом отводя часть потока для обеспечения низкого трения. воздухоносный система подвески.^[4] Включение компрессора в капсулу Hyperloop обходит ограничение Кантровица, позволяя капсуле двигаться со скоростью более 700 миль в час (около 1126 км / ч) в относительно узкой трубе.

Для контейнера, перемещающегося по трубе, предел Кантровица задается как отношение площади трубы к площади обхода как вокруг внешней части контейнера, так и через любой компрессор с байпасом воздуха:^[7]

${\displaystyle {\frac {A_{bypass}}{A_{tube}}}=\left[{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {2\gamma }{\gamma +1}}\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}\left[1+{\frac {2}{\gamma -1}}{\frac {1}{M^{2}}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[1-{\frac {\gamma -1}{2\gamma }}{\frac {1}{M^{2}}}\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}}$

куда:
${\displaystyle A_{bypass}}$	= площадь поперечного сечения перепускной области между трубкой и блоком, а также байпас воздуха, обеспечиваемый компрессором на борту блока
${\displaystyle A_{tube}}$	= площадь поперечного сечения трубки
${\displaystyle M}$	= Число Маха потока
${\displaystyle \gamma }$	= ${\displaystyle {\frac {c_{p}}{c_{v}}}}$ = коэффициент изоэнтропического расширения
	(${\displaystyle c_{p}}$ и ${\displaystyle c_{v}}$ - удельная теплоемкость газа при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно),

Рекомендации

1. Кантровиц, Артур; duP, Коулман (май 1945). «Предварительное исследование сверхзвуковых диффузоров» (PDF). Предварительный конфиденциальный отчет L5D20.
2. «Массовый расход сжимаемого материала». www.grc.nasa.gov. Получено 2017-04-10.
3. Curran, E.T .; Мурти, С. Н. Б. (01.01.2001). ГПВРД. AIAA. ISBN  9781600864414.
4. Маск, Илон (12 августа 2013 г.). "Hyperloop Alpha" (PDF). SpaceX. стр. 3–4. Получено 14 августа, 2013.
5. Рудольф, Александр (1996). Сравнение систем активного и пассивного обхода потока. Travail de Diplôme d'Etudes Approfondies (магистерская диссертация). Лозанна: EPFL.
6. Рудольф, Александр (1998). Моделирование сжимаемого потока в туннельных системах, вызванного движущимися поездами с высокой скоростью. Кандидатская диссертация. Лозанна: EPFL. п. 173.
7. Ван Ви, Д; Kwok, F; Уолш, Р. (июль 1996 г.). «Пусковые характеристики сверхзвуковых воздухозаборников». AIAA 96-2914. Дои:10.2514/6.1996-2914. Была оценена способность классического предела Кантровица предсказать коэффициент сокращения перезапуска, и было показано, что он применим для конфигураций жесткого отключения / перезапуска.