Вихрь Керра – Дольда - Kerr–Dold vortex

В динамика жидкостей, Вихрь Керра – Дольда точное решение Уравнения Навье – Стокса, который представляет собой установившиеся периодические вихри, наложенные на поток в точке застоя (или объемный поток). Решение было найдено Оливером С. Керром и Джоном В. Долдом в 1994 году.^[1][2] Эти стационарные решения существуют в результате баланса между растяжением вихрей за счет протяженного потока и вязкой диссипацией, которые аналогичны Burgers vortex. Эти вихри наблюдались экспериментально в установке с четырьмя валками Лагнадо и Л. Гэри Лил.^[3]

Математическое описание

Течение точки торможения, которое уже является точным решением уравнения Навье – Стокса, определяется выражением ${\displaystyle \mathbf {U} =(0,-Ay,Az)}$, куда ${\displaystyle A}$ - скорость деформации. К этому потоку можно добавить дополнительное периодическое возмущение, так что новое поле скорости можно записать как

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}0\\-Ay\\Az\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\\0\end{bmatrix}}}$

где беспокойство ${\displaystyle u(x,y)}$ и ${\displaystyle v(x,y)}$ считаются периодическими в ${\displaystyle x}$ направление с фундаментальным волновым числом ${\displaystyle k}$. Керр и Долд показали, что такие возмущения существуют с конечной амплитудой, что сделало решение точным для уравнений Навье – Стокса. Представляем функцию потока ${\displaystyle \psi }$ для компонент скорости возмущения можно показать, что уравнения для возмущений в формулировке функции тока завихренности сводятся к

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega &=-\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi \\[6pt]{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \omega }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \omega }{\partial y}}&-Ay{\frac {\partial \omega }{\partial y}}-A\omega =\nu \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\omega \end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \omega }$ это беспокойство завихренность. Единый параметр

${\displaystyle \lambda ={\frac {A}{\nu k^{2}}}}$

может быть получен при обезразмеривании, которое измеряет силу сходящегося потока к вязкой диссипации. Предполагается, что решение будет

${\displaystyle \psi =\sum _{k=-\infty }^{\infty }[a_{k}(y)+ib_{k}(y)]e^{-ikx}.}$

Легко убедиться, что ${\displaystyle a_{k}=a_{-k},\,b_{k}=-b_{-k},\,a_{0}=b_{0}=b_{1}=0.}$ После подстановки будет получена бесконечная последовательность дифференциальных уравнений, связанных нелинейно. Чтобы вывести следующие уравнения, Продукт Коши будет использоваться правило. Уравнения^[4][5]

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{k}''''+Aya_{k}'''+(A-2k^{2})a_{k}''-k^{2}Aya_{k}'-k^{2}Aa_{k}+k^{4}a_{k}\\[6pt]&{}+i\left[b_{k}''''+Ayb_{k}'''+(A-2k^{2})b_{k}''-k^{2}Ayb_{k}'-k^{2}Ab_{k}+k^{4}b_{k}\right]\\[6pt]={}&i\sum _{\ell =-\infty }^{\infty }\left\{\left(a_{k-\ell }'+ib_{k-\ell }'\right)\left[\ell a_{\ell }''-\ell ^{3}a_{\ell }+i(\ell b_{\ell }''-\ell ^{3}b_{\ell })\right]-(k-\ell )\left(a_{k-\ell }+ib_{k-\ell }\right)\left[a_{\ell }'''-\ell ^{2}a_{\ell }'+i(b_{\ell }'''-\ell ^{2}b_{\ell }')\right]\right\}.\end{aligned}}}$

Граничные условия

${\displaystyle a_{k}'(0)=b_{k}(0)=a_{k}(\infty )=b_{k}(\infty )=0}$

и соответствующего условия симметрии достаточно для решения задачи. Можно показать, что нетривиальное решение существует только тогда, когда ${\displaystyle \lambda >1.}$ При численном решении этого уравнения проверяется, что сохранение первых 7-8 членов достаточно для получения точных результатов.^[6] Решение, когда ${\displaystyle \lambda =1}$ является ${\displaystyle \psi =\cos x}$ был обнаружен Крейком и Криминал в 1986 году.^[7]

Рекомендации

1. Керр, Оливер С. и Дж. У. Долд. «Периодические устойчивые вихри в застойном потоке». Журнал гидромеханики 276 (1994): 307–325.
2. Дразин, П. Г., и Райли, Н. (2006). Уравнения Навье – Стокса: классификация потоков и точные решения (№ 334). Издательство Кембриджского университета.
3. Лагнадо Р. Р. и Леал Л. И. (1990). Визуализация трехмерного потока в четырехвалковом стане. Эксперименты с жидкостями, 9 (1-2), 25-32.
4. Долд, Дж. У. (1997). Тройное пламя как агенты реструктуризации диффузионного пламени. Успехи науки о горении: им. Я. Б. Зельдович (A 97-24531 05-25), Рестон, В.А., Американский институт аэронавтики и астронавтики, Inc. (Progress in Astronautics and Aeronautics., 173, 61–72.
5. Керр, О.С., и Долд, Дж. У. (1996). Распространение пламени вокруг вытянутых периодических вихрей исследовано методом трассировки лучей. Наука и технология горения, 118 (1-3), 101–125.
6. Долд, Дж. У., Керр, О. С., и Николова, И. П. (1995). Распространение пламени через периодические вихри. Горение и пламя, 100 (3), 359–366.
7. Крейк, А. Д., & Криминал, В. О. (1986). Эволюция волновых возмущений в сдвиговых потоках: класс точных решений уравнений Навье-Стокса. Труды Лондонского королевского общества. А. Математические и физические науки, 406 (1830), 13-26.