Неравенство Хинчина - Khintchine inequality

В математика, то Неравенство Хинчина, названный в честь Александр Хинчин и написанная латинским алфавитом разными способами, это теорема из вероятность, а также часто используется в анализ. Эвристически он говорит, что если мы выберем ${displaystyle N}$ сложные числа ${displaystyle x_{1},dots ,x_{N}in mathbb {C} }$, и сложите их вместе, каждый из которых умножается на случайный знак ${displaystyle pm 1}$, то ожидаемое значение суммы модуль, или модуль, к которому он будет ближе всего в среднем, будет не слишком далеко от ${displaystyle {sqrt {|x_{1}|^{2}+cdots +|x_{N}|^{2}}}}$.

Заявление

Позволять ${displaystyle {varepsilon _{n}}_{n=1}^{N}}$ быть i.i.d. случайные переменные с ${displaystyle P(varepsilon _{n}=pm 1)={frac {1}{2}}}$ за ${displaystyle n=1,ldots ,N}$, т.е. последовательность с Распределение Радемахера. Позволять ${displaystyle 0<p<infty }$

и разреши ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{N}in mathbb {C} }$. потом

${displaystyle A_{p}left(sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}ight)^{1/2}leq left(operatorname {E} left|sum _{n=1}^{N}varepsilon _{n}x_{n}ight|^{p}ight)^{1/p}leq B_{p}left(sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}ight)^{1/2}}$

для некоторых констант ${displaystyle A_{p},B_{p}>0}$ в зависимости только от ${displaystyle p}$ (видеть Ожидаемое значение для обозначений). Точные значения констант ${displaystyle A_{p},B_{p}}$ были найдены Хаагерупом [2; см. более простое доказательство в [3]). Легко увидеть, что ${displaystyle A_{p}=1}$ когда ${displaystyle pgeq 2}$, и ${displaystyle B_{p}=1}$ когда ${displaystyle 0<pleq 2}$.

Хаагеруп обнаружил, что

${displaystyle {egin{aligned}A_{p}&={egin{cases}2^{1/2-1/p}&0<pleq p_{0},2^{1/2}(Gamma ((p+1)/2)/{sqrt {pi }})^{1/p}&p_{0}<p<21&2leq p<infty end{cases}}&{ ext{and}}B_{p}&={egin{cases}1&0<pleq 22^{1/2}(Gamma ((p+1)/2)/{sqrt {pi }})^{1/p}&2<p<infty end{cases}},end{aligned}}}$

куда ${displaystyle p_{0}approx 1.847}$ и ${displaystyle Gamma }$ это Гамма-функция В частности, можно отметить, что ${displaystyle B_{p}}$ точно соответствует моменты нормального распределения.

Использование в анализе

Использование этого неравенства не ограничивается приложениями в теория вероятности. Один из примеров его использования в анализ следующее: если мы позволим ${displaystyle T}$ быть линейный оператор между двумя L^п пробелы ${displaystyle L^{p}(X,mu )}$ и ${displaystyle L^{p}(Y,u )}$, ${displaystyle 1<p<infty }$

, с ограниченным норма ${displaystyle |T|<infty }$, то с помощью неравенства Хинчина можно показать, что

${displaystyle left|left(sum _{n=1}^{N}|Tf_{n}|^{2}ight)^{1/2}ight|_{L^{p}(Y,u )}leq C_{p}left|left(sum _{n=1}^{N}|f_{n}|^{2}ight)^{1/2}ight|_{L^{p}(X,mu )}}$

для некоторой постоянной ${displaystyle C_{p}>0}$ в зависимости только от ${displaystyle p}$ и ${displaystyle |T|}$.^{[нужна цитата ]}

Обобщения

В случае Радемахер случайные величины, показал Павел Хитченко^[1] что самая резкая версия:

${displaystyle Aleft({sqrt {p}}left(sum _{n=b+1}^{N}x_{n}^{2}ight)^{1/2}+sum _{n=1}^{b}x_{n}ight)leq left(operatorname {E} left|sum _{n=1}^{N}varepsilon _{n}x_{n}ight|^{p}ight)^{1/p}leq Bleft({sqrt {p}}left(sum _{n=b+1}^{N}x_{n}^{2}ight)^{1/2}+sum _{n=1}^{b}x_{n}ight)}$

куда ${displaystyle b=lfloor pfloor }$, и ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$ универсальные константы, не зависящие от ${displaystyle p}$.

Здесь мы предполагаем, что ${displaystyle x_{i}}$ неотрицательны и не увеличиваются.

Смотрите также

• Неравенство Марцинкевича – Зигмунда
• Неравенство Буркхолдера-Дэвиса-Ганди

Рекомендации

1. Павел Хитченко, "О серии Радемахера". Вероятность в банаховых пространствах, 9, с. 31-36. ISBN  978-1-4612-0253-0

1. Томас Х. Вольф, «Лекции по гармоническому анализу». Американское математическое общество, Серия лекций в университете, т. 29, 2003. ISBN  0-8218-3449-5
2. Уффе Хаагеруп, "Лучшие константы в неравенстве Хинчина", Studia Math. 70 (1981), нет. 3, 231–283 (1982).
3. Федор Назаров и Анатолий Подкорытов, «Болл, Хаагеруп и функции распределения», Комплексный анализ, операторы и связанные темы, 247–267, Oper. Теория Adv. Appl., 113, Birkhäuser, Базель, 2000.