Формула Клейна – Нишина - Klein–Nishina formula

Распределение Клейна – Нишины сечений углов рассеяния в диапазоне часто встречающихся энергий.

В Формула Клейна – Нишина дает дифференциальное сечение из фотоны разбросаны из единого бесплатного электрон в самом низком порядке квантовая электродинамика.^[1] На низких частотах (например, видимый свет ) это дает Томсоновское рассеяние; на более высоких частотах (например, рентгеновские лучи и гамма излучение ) это дает Комптоновское рассеяние.

Для падающего неполяризованного фотона энергии ${\displaystyle E_{\gamma }}$, дифференциал поперечное сечение является:^[2]

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}r_{c}^{2}P(E_{\gamma },\theta )^{2}[P(E_{\gamma },\theta )+P(E_{\gamma },\theta )^{-1}-\sin ^{2}(\theta )]}$

куда ${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}}$ это дифференциальное сечение, ${\displaystyle d\Omega }$ бесконечно малый телесный угол элемент, ${\displaystyle \alpha }$ это постоянная тонкой структуры (~1/137.04), ${\displaystyle \theta }$ это рассеяние угол; ${\displaystyle r_{c}=\hbar /m_{e}c}$ "сокращенный" Комптоновская длина волны электрона (~ 0,38616 пм); ${\displaystyle m_{e}}$ - масса электрона (~ 511 кэВ${\displaystyle /c^{2}}$); и ${\displaystyle P(E_{\gamma },\theta )}$ - отношение энергии фотонов до и после столкновения:

${\displaystyle P(E_{\gamma },\theta )={\frac {1}{1+(E_{\gamma }/m_{e}c^{2})(1-\cos \theta )}}={\frac {\lambda }{\lambda '}}}$

Обратите внимание, что этот результат также может быть выражен черезклассический радиус электрона ${\displaystyle r_{e}=\alpha r_{c}}$:

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-\sin ^{2}(\theta )\right]}$

Хотя эта классическая величина не особенно актуальна в квантовой электродинамике, ее легко понять: в прямом направлении (для ${\displaystyle \theta }$ ~ 0) фотоны рассеиваются на электронах, как если бы они ${\displaystyle r_{e}=\alpha r_{c}}$ (~ 2,8179 фм) в линейном размере, и ${\displaystyle r_{e}^{2}}$ (~ 7.9406x10⁻³⁰ м² или 79,406 мб) по размеру.

Если входящий фотон поляризован, рассеянный фотон больше не изотропен по отношению к азимутальному углу. Для линейно поляризованного фотона, рассеянного свободным электроном в покое, дифференциальное сечение вместо этого определяется как:

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-2\sin ^{2}(\theta )\cos ^{2}(\phi )\right]}$

куда ${\displaystyle \phi }$ - азимутальный угол рассеяния. Обратите внимание, что неполяризованное дифференциальное сечение может быть получено усреднением по ${\displaystyle \cos ^{2}(\phi )}$.

Формула Клейна – Нишина была выведена в 1928 г. Оскар Кляйн и Ёсио Нишина, и был одним из первых результатов, полученных при изучении квантовая электродинамика. Учет релятивистских и квантово-механических эффектов позволил разработать точное уравнение рассеяния излучения на электроне-мишени. До этого вывода электронное сечение было классически получено британским физиком и изобретателем электрон, J.J. Томсон. Однако эксперименты по рассеянию показали значительные отклонения от результатов, предсказанных сечением Томсона. Дальнейшие эксперименты по рассеянию полностью совпали с предсказаниями формулы Клейна – Нишины.

Обратите внимание, что если ${\displaystyle E_{\gamma }\ll m_{e}c^{2}}$, ${\displaystyle P(E_{\gamma },\theta )\rightarrow 1}$ а формула Клейна – Нишины сводится к классическому выражению Томсона.

Конечная энергия рассеянного фотона, ${\displaystyle E_{\gamma }'}$, зависит только от угла рассеяния и исходной энергии фотона, поэтому его можно вычислить без использования формулы Клейна – Нишины:

${\displaystyle E_{\gamma }'(E_{\gamma },\theta )=E_{\gamma }\cdot P(E_{\gamma },\theta )\,}$

Смотрите также

• Синхротронное излучение
• Ёсио Нишина
• Оскар Кляйн

Рекомендации

1. Klein, O; Нишина, Ю. (1929). "Uber die Streuung von Strahlung durch freie Elektronen nach der neuen relativistischen Quantendynamik von Dirac". Z. Phys. 52 (11–12): 853 и 869. Bibcode:1929ZPhy ... 52..853K. Дои:10.1007 / BF01366453.
2. Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей. я. С. 362–9.

дальнейшее чтение

• Эванс, Р. Д. (1955). Атомное ядро. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 674–676. OCLC  542611.
• Мелиссинос, А. С. (1966). Эксперименты в современной физике. Нью-Йорк: Academic Press. С. 252–265. ISBN  0-12-489850-5.
• Klein, O .; Нишина, Ю. (1994). «О рассеянии излучения на свободных электронах в соответствии с новой релятивистской квантовой динамикой Дирака». В Ekspong, Gösta (ред.). Лекции памяти Оскара Клейна, Vol. 2: Лекции Ханса А. Бете и Алана Х. Гута с переведенными репринтами Оскара Кляйна. Сингапур: World Scientific. С. 113–139.