Приближение Комлоша – Майора – Тушнади - Komlós–Major–Tusnády approximation

В теория вероятности, то Приближение Комлоша – Майора – Тушнади (также известный как Приближение КМТ, то KMT встраивание, или Венгерское вложение) является приближением эмпирический процесс по Гауссовский процесс построен на том же вероятностное пространство. Он назван в честь венгерских математиков. Янош Комлош, Габор Тушнади, и Петер Майор.

Теория

Позволять ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ быть независимым униформа (0,1) случайные переменные. Определить униформу эмпирическая функция распределения в качестве

${\displaystyle F_{U,n}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{U_{i}\leq t},\quad t\in [0,1].}$

Определить униформу эмпирический процесс в качестве

${\displaystyle \alpha _{U,n}(t)={\sqrt {n}}(F_{U,n}(t)-t),\quad t\in [0,1].}$

В Теорема Донскера (1952) показывает, что ${\displaystyle \alpha _{U,n}(t)}$ сходится в законе к Броуновский мост ${\displaystyle B(t).}$ Комлош, Майор и Тушнади установили точную границу скорости этой слабой сходимости.

Теорема (КМТ, 1975) На подходящем вероятностное пространство для независимых равномерных (0,1) с.в. ${\displaystyle U_{1},U_{2}\ldots }$ эмпирический процесс ${\displaystyle \{\alpha _{U,n}(t),0\leq t\leq 1\}}$ можно аппроксимировать последовательностью броуновских мостов ${\displaystyle \{B_{n}(t),0\leq t\leq 1\}}$ такой, что

${\displaystyle P\left\{\sup _{0\leq t\leq 1}|\alpha _{U,n}(t)-B_{n}(t)|>{\frac {1}{\sqrt {n}}}(a\log n+x)\right\}\leq be^{-cx}}$

для всех положительных целых чисел п и все ${\displaystyle x>0}$, куда а, б, и c положительные константы.

Следствие

Следствие этой теоремы состоит в том, что для любого действительного iid r.v. ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,}$ с cdf ${\displaystyle F(t),}$ можно построить вероятностное пространство, где независимые^{[требуется разъяснение ]} последовательности эмпирических процессов ${\displaystyle \alpha _{X,n}(t)={\sqrt {n}}(F_{X,n}(t)-F(t))}$ и Гауссовские процессы ${\displaystyle G_{F,n}(t)=B_{n}(F(t))}$ существуют такие, что

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{\ln n}}{\big \|}\alpha _{X,n}-G_{F,n}{\big \|}_{\infty }<\infty ,}$     почти наверняка.

Рекомендации

• Комлос, Дж., Майор, П. и Туснади, Г. (1975) Аппроксимация частных сумм независимых с.в. и выборочной df. Я, Wahrsch verw Gebiete / Теория вероятностей и смежные области, 32, 111–131. Дои: 10.1007 / BF00533093
• Комлос, Дж., Майор, П. и Туснади, Г. (1976) Аппроксимация частных сумм независимых с.в. и выборки df. II, Wahrsch verw Gebiete / Теория вероятностей и смежные области, 34, 33–58. Дои:10.1007 / BF00532688