Теорема Костанца о выпуклости - Kostants convexity theorem - Wikipedia

В математике Теорема Костанта о выпуклости, представлен Бертрам Костант  (1973 ), утверждает, что проекция каждого сопряженная орбита связанного компактная группа Ли в двойник Подалгебра Картана это выпуклый набор. Это частный случай более общего результата для симметричные пространства. Теорема Костанта является обобщением результата Шур (1923), Рог (1954) и Томпсон (1972) для эрмитовых матриц. Они доказали, что проекция на диагональные матрицы пространства всех п к п комплексные самосопряженные матрицы с заданными собственными значениями Λ = (λ₁, ..., λ_п) - выпуклый многогранник с вершинами всех перестановок координат многогранника Λ.

Костант использовал это, чтобы обобщить Неравенство Голдена – Томпсона всем компактным группам.

Компактные группы Ли

Позволять K - связная компактная группа Ли с максимальный тор Т и Группа Вейля W = N_K(Т)/Т. Пусть их алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$. Позволять п быть ортогональной проекцией ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ на ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ для некоторого Ad-инвариантного внутреннего продукта на ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$. Тогда для Икс в ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$, п(Объявление(K)⋅Икс) - выпуклый многогранник с вершинами ш(Икс) куда ш пробегает группу Вейля.

Симметричные пространства

Позволять грамм - компактная группа Ли и σ - инволюция с K компактная подгруппа, фиксированная σ и содержащая компонент идентичности подгруппы неподвижных точек группы σ. Таким образом грамм/K это симметричное пространство компактного типа. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ - их алгебры Ли, и пусть σ также обозначает соответствующую инволюцию ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ - собственное подпространство σ −1 и пусть ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ - максимальное абелево подпространство. Позволять Q быть ортогональной проекцией ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ на ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ для некоторых объявлений (K) -инвариантный внутренний продукт на ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Тогда для Икс в ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, Q(Объявление(K)⋅Икс) - выпуклый многогранник с вершинами ш(Икс) куда ш проходит через ограниченная группа Вейля (нормализатор ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ в K по модулю его централизатора).

Случай компактной группы Ли - частный случай, когда грамм = K × K, K вложено по диагонали, а σ - автоморфизм грамм поменять местами два фактора.

Доказательство компактной группы Ли

Доказательство Костанта для симметрических пространств приведено в Хельгасон (1984). Существует элементарное доказательство только для компактных групп Ли, использующее аналогичные идеи, благодаря Вильдбергер (1993): он основан на обобщении Алгоритм Якоби на собственные значения компактным группам Ли.

Позволять K - связная компактная группа Ли с максимальным тором Т. Для каждого положительного корня α существует гомоморфизм SU (2) в K. Простой расчет с матрицами 2 на 2 показывает, что если Y в ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ и k меняется в этом образе SU (2), то п(Объявление(k)⋅Y) проводит прямую линию между п(Y) и его отражение в корне α. В частности, компонент в корневом пространстве α - его «недиагональная координата α» - может быть отправлен в 0. При выполнении этой последней операции расстояние от п(Y) к п(Объявление(k)⋅Y) ограничена сверху размером недиагональной координаты α Y. Позволять м - количество положительных корней, половина размерности K/Т. Начиная с произвольной Y₁ возьмите наибольшую недиагональную координату и отправьте ее в ноль, чтобы получить Y₂. Продолжайте так, чтобы получить последовательность (Y_п). потом

${\displaystyle \displaystyle {\|P^{\perp }(Y_{n+1})\|^{2}\leq \left({m-1 \over m}\right)\|P^{\perp }(Y_{n})\|^{2}.}}$

Таким образом п^⊥(Y_п) стремится к 0 и

${\displaystyle \displaystyle {\|P(Y_{n+1}-Y_{n})\|\leq \|P^{\perp }(Y_{n})\|.}}$

Следовательно Икс_п = п(Y_п) является последовательностью Коши, поэтому стремится к Икс в ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$. С Y_п = п(Y_п) ⊕ п^⊥(Y_п), Y_п как правило Икс. С другой стороны, Икс_п лежит на стыке отрезка прямой Икс_п+1 и его отражение в корне α. Таким образом Икс_п лежит в многограннике групп Вейля, определяемом формулой Икс_п+1. Таким образом, эти выпуклые многогранники возрастают как п увеличивается и, следовательно, п(Y) лежит в многограннике для Икс. Это можно повторить для каждого Z в K-орбита Икс. Предел обязательно находится в групповой орбите Вейля Икс и поэтому п(Объявление(K)⋅Икс) содержится в выпуклом многограннике, определяемом формулой W(Икс).

Чтобы доказать обратное включение, возьмем Икс быть точкой в ​​положительной камере Вейля. Тогда все остальные точки Y в выпуклой оболочке W(Икс) может быть получен серией путей в этом пересечении, движущихся по минусу простого корня. (Это соответствует знакомой картине из теории представлений: если по двойственности Икс соответствует доминантному весу λ, другие веса в многограннике группы Вейля, определяемом λ, являются весами, входящими в неприводимое представление K со старшим весом λ. Рассуждение с понижающими операторами показывает, что каждый такой вес связан цепью с λ, полученной последовательным вычитанием простых корней из λ.^[1]) Каждая часть пути от Икс к Y можно получить описанным выше процессом для копий SU (2), соответствующих простым корням, так что весь выпуклый многогранник лежит в п(Объявление(K)⋅Икс).

Прочие доказательства

Хекман (1982) дал другое доказательство теоремы выпуклости для компактных групп Ли, также представленное в Хильгерт, Хофманн и Лоусон (1989). Для компактных групп Атья (1982) и Гийемен и Штернберг (1982) показал, что если M это симплектическое многообразие с гамильтоновым действием тора Т с алгеброй Ли ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$, то изображение карта моментов

${\displaystyle \displaystyle {M\rightarrow {\mathfrak {t}}^{*}}}$

выпуклый многогранник с вершинами в образе множества неподвижных точек Т (изображение - конечное множество). Принимая за M сопряженная орбита K в ${\displaystyle {\mathfrak {k}}^{*}}$, карта момента для Т состав

${\displaystyle \displaystyle {M\rightarrow {\mathfrak {k}}^{*}\rightarrow {\mathfrak {t}}^{*}.}}$

Использование инвариантного внутреннего продукта для идентификации ${\displaystyle {\mathfrak {k}}^{*}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$, карта становится

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {Ad} (K)\cdot X\rightarrow {\mathfrak {t}},}}$

ограничение ортогональной проекции. Принимая Икс в ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$, неподвижные точки Т на орбите Ad (K)⋅Икс являются просто орбитой под группой Вейля, W(Икс). Таким образом, из свойств выпуклости карты моментов следует, что изображение - это выпуклый многогранник с этими вершинами. Зиглер (1992) дал упрощенную прямую версию доказательства с использованием карт моментов.

Duistermaat (1983) показал, что обобщение свойств выпуклости отображения момента может быть использовано для рассмотрения более общего случая симметрических пространств. Пусть τ - гладкая инволюция M который переводит симплектическую форму ω в −ω и такой, что т ∘ τ = τ ∘ т⁻¹. потом M и множество неподвижных точек τ (предполагаемое непустым) имеют то же изображение под картой момента. Чтобы применить это, позвольте Т = exp ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, тор в грамм. Если Икс в ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ как и раньше, карта момента дает карту проекции

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {Ad} (G)\cdot X\rightarrow {\mathfrak {a}}.}}$

Пусть τ - отображение τ (Y) = - σ (Y). Карта выше имеет то же изображение, что и множество неподвижных точек τ, то есть Ad (K)⋅Икс. Его образ представляет собой выпуклый многогранник с вершинами как образ множества неподвижных точек Т в объявлении (грамм)⋅Икс, т.е. точки ш(Икс) за ш в W = N_K(Т) / C_K(Т).

Дальнейшие направления

В Костант (1973) Теорема о выпуклости выводится из более общей теоремы о выпуклости относительно проекции на компонент А в Разложение Ивасавы грамм = KAN вещественной полупростой группы Ли грамм. Обсужденный выше результат для компактных групп Ли K соответствует частному случаю, когда грамм это комплексирование из K: в этом случае алгебра Ли А можно отождествить с ${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$. Более общая версия теоремы Костанта также была обобщена на полупростые симметрические пространства с помощью ван ден Бан (1986). Кац и Петерсон (1984) дал обобщение для бесконечномерных групп.

Примечания

1. Видеть:
   • Хамфрис 1997
   • Duistermaat & Kolk 2000

Рекомендации

• Атья, М.Ф. (1982), "Выпуклость и коммутирующие гамильтонианы", Бык. Лондонская математика. Soc., 14: 1–15, CiteSeerX  10.1.1.396.48, Дои:10.1112 / blms / 14.1.1
• Дуистермаат, Дж. Дж. (1983), "Выпуклость и плотность ограничений гамильтоновых функций на множества неподвижных точек антисимплектической инволюции", Пер. Амер. Математика. Soc., 275: 417–429, Дои:10.1090 / s0002-9947-1983-0678361-2
• Duistermaat, J.J .; Колк, А. (2000), Группы Ли, Universitext, Springer, ISBN  978-3540152934
• Guillemin, V .; Штернберг, С. (1982), "Свойства выпуклости отображения момента", Изобретать. Математика., 67 (3): 491–513, Дои:10.1007 / bf01398933
• Хельгасон, Сигурдур (1984), Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции, Academic Press, стр.473–476, ISBN  978-0-12-338301-3
• Хильгерт, Иоахим; Хофманн, Карл Генрих; Лоусон, Джимми Д. (1989), Группы Ли, выпуклые конусы и полугруппы, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853569-0
• Хекман, Дж. Дж. (1982), "Проекции орбит и асимптотика кратностей для компактных связных групп Ли", Изобретать. Математика., 67 (2): 333–356, Дои:10.1007 / bf01393821
• Хорн, Альфред (1954), "Дважды стохастические матрицы и диагональ матрицы вращения", Амер. J. Math., 76 (3): 620–630, Дои:10.2307/2372705, JSTOR  2372705
• Хамфрис, Джеймс Э. (1997), Введение в алгебры Ли и теорию представлений, Выпускные тексты по математике, 9 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3540900535
• Kac, V. G .; Петерсон, Д. Х. (1984), "Унитарная структура в представлениях бесконечномерных групп и теорема выпуклости", Изобретать. Математика., 76: 1–14, Дои:10.1007 / bf01388487, HDL:2027.42/46611
• Костант, Бертрам (1973), "О выпуклости, группе Вейля и разложении Ивасавы", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Сери 4, 6 (4): 413–455, Дои:10.24033 / asens.1254, ISSN  0012-9593, МИСТЕР  0364552
• Шур, I. (1923), "Uber eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf der Determinanten Theorie", Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft, 22: 9–20
• Томпсон, Колин Дж. (1972), «Неравенства и частичные порядки на матричных пространствах», Indiana Univ. Математика. Дж., 21 (5): 469–480, Дои:10.1512 / iumj.1972.21.21037
• ван ден Бан, Эрик П. (1986), "Теорема выпуклости для полупростых симметрических пространств", Pacific J. Math., 124: 21–55, Дои:10.2140 / pjm.1986.124.21
• Вильдбергер, Н. Дж. (1993), "Диагонализация в компактных алгебрах Ли и новое доказательство теоремы Костанта", Proc. Амер. Математика. Soc., 119 (2): 649–655, Дои:10.1090 / с0002-9939-1993-1151817-6
• Зиглер, Франсуа (1992), "О теореме Костанта о выпуклости", Proc. Амер. Математика. Soc., 115 (4): 1111–1113, Дои:10.1090 / s0002-9939-1992-1111441-7