Леди Уиндермирес Фанат (математика) - Lady Windermeres Fan (mathematics) - Wikipedia

В математика, Веер леди Уиндермир - телескопическая идентичность, используемая для связи глобальной и локальной ошибки численный алгоритм. Название происходит от Оскар Уальд пьеса 1892 года Вентилятор леди Уиндермир, пьеса о хорошей женщине.

Вентилятор леди Уиндермир для функции одной переменной

Позволять ${\displaystyle E(\ \tau ,t_{0},y(t_{0})\ )}$ быть оператор точного решения так что:

${\displaystyle y(t_{0}+\tau )=E(\tau ,t_{0},y(t_{0}))\ y(t_{0})}$

с ${\displaystyle t_{0}}$ обозначающий начальное время и ${\displaystyle y(t)}$ функция, которую нужно аппроксимировать заданным ${\displaystyle y(t_{0})}$.

Далее пусть ${\displaystyle y_{n}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\ n\leq N}$ численное приближение в момент времени ${\displaystyle t_{n}}$, ${\displaystyle t_{0}<t_{n}\leq T=t_{N}}$. ${\displaystyle y_{n}}$ может быть достигнута с помощью оператор приближения ${\displaystyle \Phi (\ h_{n},t_{n},y(t_{n})\ )}$ так что:

${\displaystyle y_{n}=\Phi (\ h_{n-1},t_{n-1},y(t_{n-1})\ )\ y_{n-1}\quad }$ с ${\displaystyle h_{n}=t_{n+1}-t_{n}}$

Оператор аппроксимации представляет собой используемую численную схему. Для простого явного форварда схема Эйлера с шириной шага ${\displaystyle h}$ это было бы: ${\displaystyle \Phi _{\text{Euler}}(\ h,t_{n-1},y(t_{n-1})\ )\ y(t_{n-1})=(1+h{\frac {d}{dt}})\ y(t_{n-1})}$

В локальная ошибка ${\displaystyle d_{n}}$ тогда дается:

${\displaystyle d_{n}:=D(\ h_{n-1},t_{n-1},y(t_{n-1}\ )\ y_{n-1}:=\left[\Phi (\ h_{n-1},t_{n-1},y(t_{n-1})\ )-E(\ h_{n-1},t_{n-1},y(t_{n-1})\ )\right]\ y_{n-1}}$

В сокращении пишем:

${\displaystyle \Phi (h_{n}):=\Phi (\ h_{n},t_{n},y(t_{n})\ )}$

${\displaystyle E(h_{n}):=E(\ h_{n},t_{n},y(t_{n})\ )}$

${\displaystyle D(h_{n}):=D(\ h_{n},t_{n},y(t_{n})\ )}$

потом Веер леди Уиндермир для функции одной переменной ${\displaystyle t}$ пишет как:

${\displaystyle y_{N}-y(t_{N})=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ (y_{0}-y(t_{0}))+\sum _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\ d_{n}}$

с глобальной ошибкой ${\displaystyle y_{N}-y(t_{N})}$

Объяснение

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{N}-y(t_{N})&{}=y_{N}-\underbrace {\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})+\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})} _{=0}-y(t_{N})\\&{}=y_{N}-\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})+\underbrace {\sum _{n=0}^{N-1}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{n})-\sum _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{n})} _{=\prod _{n=0}^{N-1}\Phi (h_{n})\ y(t_{n})-\sum _{n=N}^{N}\left[\prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\right]\ y(t_{n})=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})-y(t_{N})}\\&{}=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y_{0}-\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})+\sum _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n-1}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{n-1})-\sum _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{n})\\&{}=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ (y_{0}-y(t_{0}))+\sum _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\left[\Phi (h_{n-1})-E(h_{n-1})\right]\ y(t_{n-1})\\&{}=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ (y_{0}-y(t_{0}))+\sum _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\ d_{n}\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Числовая ошибка