Теория Ландау - Landau theory

Не путать с Теория Гинзбурга – Ландау.

Теория Ландау в физика это теория, которая Лев Ландау введена в попытке сформулировать общую теорию непрерывных (т. е. второго порядка) фазовые переходы.^[1] Его также можно адаптировать к системам, находящимся под воздействием внешних полей, и использовать в качестве количественной модели для прерывистых переходов (то есть первого рода).

Формулировка среднего поля (без дальнодействующей корреляции)

Основная статья: Теория среднего поля

Ландау был мотивирован предположить, что свободная энергия любой системы должна подчиняться двум условиям:

• Это аналитически.
• Он подчиняется симметрии Гамильтониан.

Учитывая эти два условия, можно записать (в окрестности критической температуры Т_c) феноменологическое выражение для свободной энергии как Расширение Тейлора в параметр порядка.

Переходы второго рода

Схема свободной энергии как функции параметра порядка ${\displaystyle \eta }$

Рассмотрим систему, которая нарушает некоторую симметрию ниже фазового перехода, который характеризуется параметром порядка ${\displaystyle \eta }$. Этот параметр порядка является мерой порядка до и после фазового перехода; параметр порядка часто равен нулю выше некоторой критической температуры и отличен от нуля ниже критической температуры. В простой ферромагнитной системе, такой как Модель Изинга параметр порядка характеризуется суммарной намагниченностью ${\displaystyle m}$, которая самопроизвольно становится ненулевой ниже критической температуры ${\displaystyle T_{c}}$. В теории Ландау рассматривается функционал свободной энергии, который является аналитической функцией параметра порядка. Во многих системах с определенной симметрией свободная энергия будет только функцией четных степеней параметра порядка, для которых она может быть выражена как разложение в ряд^[2]

${\displaystyle F(T,\eta )-F_{0}=a(T)\eta ^{2}+{\frac {b(T)}{2}}\eta ^{4}+\cdots }$

В общем, в свободной энергии присутствуют члены более высокого порядка, но разумным приближением является рассмотрение ряда до четвертого порядка по параметру порядка, пока параметр порядка мал. Чтобы система была термодинамически стабильной (то есть система не ищет бесконечный параметр порядка для минимизации энергии), коэффициент при наивысшей четной степени параметра порядка должен быть положительным, поэтому ${\displaystyle b(T)>0}$. Для простоты можно считать, что ${\displaystyle b(T)=b_{0}}$, постоянная, близкая к критической температуре. Кроме того, поскольку ${\displaystyle a(T)}$ меняет знак выше и ниже критической температуры, можно также расширить ${\displaystyle a(T)\approx a_{0}(T-T_{c})}$, где предполагается, что ${\displaystyle a>0}$ для высокотемпературной фазы при ${\displaystyle a<0}$ для низкотемпературной фазы, чтобы произошел переход. При этих предположениях минимизация свободной энергии по параметру порядка требует

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \eta }}=2a(T)\eta +2b(T)\eta ^{3}=0}$

Решение параметра порядка, которое удовлетворяет этому условию, есть либо ${\displaystyle \eta =0}$, или же

${\displaystyle \eta _{0}^{2}=-{\frac {a}{b}}=-{\frac {a_{0}}{b_{0}}}(T-T_{c})}$

Параметр порядка и удельная теплоемкость как функция температуры

Понятно, что это решение существует только для ${\displaystyle T<T_{c}}$, иначе ${\displaystyle \eta =0}$ это единственное решение. В самом деле, ${\displaystyle \eta =0}$ это минимальное решение для ${\displaystyle T>T_{c}}$, но решение ${\displaystyle \eta _{0}}$ минимизирует свободную энергию для ${\displaystyle T<T_{c}}$, а значит, стабильная фаза. Кроме того, параметр порядка подчиняется соотношению

${\displaystyle \eta (T)\propto \left|T-T_{c}\right|^{1/2}}$

ниже критической температуры, что указывает на критический показатель ${\displaystyle \beta =1/2}$ для этой модели теории средних Ландау.

Свободная энергия будет изменяться в зависимости от температуры, задаваемой формулой

${\displaystyle F-F_{0}={\begin{cases}-{\dfrac {a_{0}^{2}}{2b_{0}}}(T-T_{c})^{2},&T<T_{c}\\0,&T>T_{c}\end{cases}}}$

По свободной энергии можно вычислить удельную теплоемкость,

${\displaystyle c_{p}=-T{\frac {\partial ^{2}F}{\partial T^{2}}}={\begin{cases}{\dfrac {a_{0}^{2}}{b_{0}}}T,&T<T_{c}\\0,&T>T_{c}\end{cases}}}$

который имеет конечный скачок при критической температуре размером ${\displaystyle \Delta c=a_{0}^{2}T_{c}/b_{0}}$. Следовательно, этот конечный скачок не связан с разрывом, который произошел бы, если бы система поглотила скрытая теплота, поскольку ${\displaystyle T_{c}\Delta S=0}$. Также следует отметить, что скачок теплоемкости связан с скачком второй производная от свободной энергии, которая характерна для второйфазовый переход порядка. Кроме того, тот факт, что теплоемкость не имеет дивергенции или заострения в критической точке, указывает на ее критический показатель для ${\displaystyle c\sim |T-T_{c}|^{-\alpha }}$ является ${\displaystyle \alpha =0}$.

Применяемые поля

Во многих системах можно рассматривать возмущающее поле ${\displaystyle h}$ что линейно связано с параметром порядка. Например, в случае классического дипольный момент ${\displaystyle \mu }$, энергия системы диполь-поле равна ${\displaystyle -\mu B}$. В общем случае можно принять сдвиг энергии на величину ${\displaystyle -\eta h}$ из-за связи параметра порядка с приложенным полем ${\displaystyle h}$, и в результате изменится свободная энергия Ландау:

${\displaystyle F(T,\eta )-F_{0}=a_{0}(T-T_{c})\eta ^{2}+{\frac {b_{0}}{2}}\eta ^{4}-\eta h}$

В этом случае условие минимизации имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \eta }}=2a(T)\eta +2b_{0}\eta ^{3}-h=0}$

Непосредственным следствием этого уравнения и его решения является то, что, если приложенное поле отличное от нуля, то намагниченность не равна нулю при любой температуре. Это означает, что больше не существует спонтанного нарушения симметрии, которое происходит при любой температуре. Кроме того, из этого условия можно получить некоторые интересные термодинамические и универсальные величины. Например, при критической температуре, когда ${\displaystyle a(T_{c})=0}$, можно найти зависимость параметра порядка от внешнего поля:

${\displaystyle \eta (T_{c})=\left({\frac {h}{2b_{0}}}\right)^{1/3}\propto h^{1/\delta }}$

с указанием критического показателя ${\displaystyle \delta =3}$.

Восприимчивость к нулевому полю как функция температуры вблизи критической температуры

Кроме того, из вышеуказанного условия можно найти восприимчивость при нулевом поле ${\displaystyle \chi \equiv \partial \eta /\partial h|_{h=0}}$, который должен удовлетворять

${\displaystyle 0=2a{\frac {\partial \eta }{\partial h}}+6b\eta ^{2}{\frac {\partial \eta }{\partial h}}-1}$

${\displaystyle [2a+6b\eta ^{2}]{\frac {\partial \eta }{\partial h}}=1}$

В этом случае, вспоминая в случае нулевого поля, что ${\displaystyle \eta ^{2}=-a/b}$ при низких температурах, а ${\displaystyle \eta ^{2}=0}$ поэтому для температур выше критической чувствительность в нулевом поле имеет следующую температурную зависимость:

${\displaystyle \chi (T,h\to 0)={\begin{cases}{\frac {1}{2a_{0}(T-T_{c})}},&T>T_{c}\\{\frac {1}{-4a_{0}(T-T_{c})}},&T<T_{c}\end{cases}}\propto |T-T_{c}|^{-\gamma }}$

что напоминает Закон Кюри-Вейсса для температурной зависимости магнитной восприимчивости в магнитных материалах и дает критический показатель среднего поля ${\displaystyle \gamma =1}$.

Переходы первого рода

Хотя теория Ландау обычно используется для изучения переходов второго рода, ее также можно использовать для изучения переходов первого рода. Чтобы смоделировать это, можно рассмотреть разложение по свободной энергии до шестого порядка (в нулевом поле),^[3][4]

${\displaystyle F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6}}$

где снова ${\displaystyle A(T)=A_{0}(T-T_{c})}$. При некоторой температуре перехода ${\displaystyle T_{*}}$, параметр порядка изменится с нуля на ненулевой. При высоких температурах выше некоторой "температуры перехода" ${\displaystyle T_{*}}$, этот функционал свободной энергии всюду положительный и вогнутый, а параметр порядка равен нулю (поскольку это минимизирует свободную энергию). При температуре перехода параметр порядка больше не будет равным нулю; кроме того, это произойдет, когда свободная энергия равна нулю (как и ${\displaystyle \eta =0}$ решение), и, кроме того, эта точка должна быть локальным минимумом, чтобы быть устойчивым решением. Экстремизация свободной энергии по параметру порядка для этих условий приводит к двум уравнениям:

${\displaystyle 0=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6}}$

${\displaystyle 0=2A(T)\eta -4B_{0}\eta ^{3}+6C_{0}\eta ^{5}}$

Фазовый переход первого рода, продемонстрированный в скачке параметра порядка как функции температуры

которые удовлетворены, когда ${\displaystyle \eta ^{2}(T_{*})={\frac {B_{0}}{2C_{0}}}}$. Используя те же уравнения, также требуется, чтобы ${\displaystyle A(T_{*})=A_{0}(T_{*}-T_{c})=B_{0}^{2}/4C_{0}}$. Отсюда два важных результата; во-первых, при этой температуре перехода происходит скачок параметра порядка (поскольку он равен нулю прямо над ${\displaystyle T_{*}}$ но вдруг прыгает прямо внизу ${\displaystyle T_{*}}$), характерную для перехода первого рода. Кроме того, температура перехода ${\displaystyle T_{*}}$ при которой изменяется параметр порядка не то же самое, что критическая температура ${\displaystyle T_{c}}$ системы, где ${\displaystyle A(T_{c})=0}$.

При температурах ниже температуры перехода ${\displaystyle T<T_{*}}$, параметр порядка определяется выражением

${\displaystyle \eta ^{2}={\frac {B_{0}}{3C_{0}}}\left[1+{\sqrt {1-{\frac {3A(T)C_{0}}{B_{0}^{2}}}}}\right]}$

который нанесен справа. Это показывает явный разрыв, связанный с параметром порядка как функцией температуры. Чтобы дополнительно продемонстрировать, что переход является первым родом, можно показать, что свободная энергия для этого параметра порядка непрерывна при температуре перехода ${\displaystyle T_{*}}$, но его первая производная страдает разрывом.

Приложения

Экспериментально было известно, что кривая сосуществования жидкость-газ и кривая намагничивания ферромагнетика демонстрируют масштабное соотношение вида ${\displaystyle |T-T_{c}|^{\beta }}$, куда ${\displaystyle \beta }$ загадочным образом был одинаковым для обеих систем. Это феномен универсальность. Было также известно, что простые модели жидкость-газ точно отображаются в простые магнитные модели, что подразумевает, что две системы обладают одинаковой симметрией. Затем из теории Ландау следовало, почему эти две очевидно несопоставимые системы должны иметь одинаковые критические показатели, несмотря на разные микроскопические параметры. Сейчас известно, что феномен универсальность возникает по другим причинам (см. Ренормализационная группа ). Фактически, теория Ландау предсказывает неверные критические показатели для систем Изинга и жидкость-газ.

Великое достоинство теории Ландау состоит в том, что она дает конкретные предсказания относительно того, какое неаналитическое поведение следует наблюдать, когда лежащая в основе свободная энергия является аналитической. Тогда вся неаналитичность в критической точке, критических показателях, обусловлена ​​тем, что равновесное значение параметра порядка изменяется неаналитически, как квадратный корень, когда свободная энергия теряет свой уникальный минимум.

Распространение теории Ландау на флуктуации параметра порядка показывает, что теория Ландау строго справедлива только вблизи критических точек обычных систем с пространственными размерами больше 4. Это верхний критический размер, и может быть намного больше четырех при более точной настройке фазового перехода. В Мухамель При анализе изотропной точки Лифшица критическая размерность равна 8. Это связано с тем, что теория Ландау является теория среднего поля, и не включает дальние корреляции.

Эта теория не объясняет неаналитичность в критической точке, но применительно к сверхтекучий и сверхпроводникового фазового перехода, теория Ландау послужила источником вдохновения для другой теории, Теория Гинзбурга – Ландау из сверхпроводимость.

Включая дальние корреляции

Рассмотрим свободную энергию модели Изинга выше. Предположим, что параметр порядка ${\displaystyle \Psi }$ и внешнее магнитное поле, ${\displaystyle H}$, могут иметь пространственные вариации. Теперь можно предположить, что свободная энергия системы принимает следующую модифицированную форму:

${\displaystyle F:=\int d^{D}x\ \left(a(T)+r(T)\psi ^{2}(x)+s(T)\psi ^{4}(x)\ +f(T)(\nabla \psi (x))^{2}\ +h(x)\psi (x)\ \ +{\mathcal {O}}(\psi ^{6};(\nabla \psi )^{4})\right)}$

куда ${\displaystyle D}$ это общая пространственный размерность. Так,

${\displaystyle \langle \psi (x)\rangle :={\frac {{\text{Tr}}\ \psi (x){\rm {e}}^{-\beta H}}{Z}}}$

Предположим, что для локализованный внешнее магнитное возмущение ${\displaystyle h(x)\rightarrow 0+h_{0}\delta (x)}$, параметр порядка принимает вид ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi _{0}+\phi (x)}$. Потом,

${\displaystyle {\frac {\delta \langle \psi (x)\rangle }{\delta h(0)}}={\frac {\phi (x)}{h_{0}}}=\beta \left(\langle \psi (x)\psi (0)\rangle -\langle \psi (x)\rangle \langle \psi (0)\rangle \right)}$

То есть колебание ${\displaystyle \phi (x)}$ в параметре порядка соответствует корреляции порядок-порядок. Следовательно, пренебрежение этой флуктуацией (как и в более раннем подходе среднего поля) соответствует пренебрежению корреляцией порядка-порядка, которая расходится вблизи критической точки.

Также можно решить ^[5] за ${\displaystyle \phi (x)}$, откуда масштабный показатель, ${\displaystyle \nu }$, для корреляционной длины ${\displaystyle \xi \sim (T-T_{c})^{-\nu }}$ может вывести. Исходя из этого, Критерий Гинзбурга для верхний критический размер Для справедливости изинговской теории Ландау среднего поля (без дальнодействующей корреляции) можно рассчитать как:

${\displaystyle D\geq 2+2{\frac {\beta }{\nu }}}$

В нашей текущей модели Изинга теория Ландау среднего поля дает ${\displaystyle \beta =1/2=\nu }$ и поэтому она (теория Ландау среднего поля Изинга) справедлива только для пространственной размерности, большей или равной 4 (при предельных значениях ${\displaystyle D=4}$, есть небольшие поправки к показателям степени). Эту модифицированную версию теории Ландау среднего поля иногда также называют теорией Ландау-Гинзбурга фазовых переходов Изинга. В качестве пояснения есть также Теория Ландау-Гинзбурга специфический для фазового перехода сверхпроводимости, который также включает флуктуации.

Смотрите также

• Теория Гинзбурга – Ландау
• Критерий Гинзбурга

Сноски

1. Лев Д. Ландау (1937). «К теории фазовых переходов» (PDF). Ж. Эксп. Теор. Физ. 7: 19-32. Архивировано из оригинал (PDF) 14 декабря 2015 г.
2. Landau, L.D .; Лифшиц, Э.М. (2013). Статистическая физика. 5. Эльзевир. ISBN  978-0080570464.
3. Толедано, J.C .; Толедано, П. (1987). «Глава 5: Переходы первого порядка». Теория фазовых переходов Ландау.. Всемирная научная издательская компания. ISBN  9813103949.
4. Stoof, H.T.C .; Gubbels, K.B .; Дикершайд, Д.Б.М. (2009). Ультрахолодные квантовые поля. Springer. ISBN  978-1-4020-8763-9.
5. «Статистическая физика равновесия» Михаэля Плишке, Биргера Бергерсена, Раздел 3.10, 3-е изд.

дальнейшее чтение

• Ландау Л.Д. Сборник статей (Наука, Москва, 1969)
• Майкл С. Кросс, Теория Ландау фазовых переходов второго рода, [1] (Конспект лекций по статистической механике Калифорнийского технологического института).
• Юхновский И Р, Фазовые переходы второго порядка - метод коллективных переменных., World Scientific, 1987, ISBN  9971-5-0087-6