Langleys Adventitious Angles - Langleys Adventitious Angles - Wikipedia

Дополнительные углы Лэнгли

Решение проблемы треугольника Лэнгли 80-80-20

Дополнительные углы Лэнгли математическая проблема, поставленная Эдвард Манн Лэнгли в Математический вестник в 1922 г.^[1][2]

Проблема

В исходном виде проблема была следующей:

${\displaystyle ABC}$ является равнобедренный треугольник.

${\displaystyle \angle {B}=\angle {C}=80^{\circ }.}$

${\displaystyle CF}$ в ${\displaystyle 30^{\circ }}$ к ${\displaystyle AC}$ порезы ${\displaystyle AB}$ в ${\displaystyle F.}$

${\displaystyle BE}$ в ${\displaystyle 20^{\circ }}$ к ${\displaystyle AB}$ порезы ${\displaystyle AC}$ в ${\displaystyle E.}$

Доказывать ${\displaystyle \angle {BEF}=30^{\circ }.}$ ^[1][2][3]

Решение

Решение было разработано Джеймс Мерсер в 1923 г.^[2] Это решение включает в себя рисование одной дополнительной линии и повторное использование того факта, что внутренние углы треугольника в сумме составляют 180 °, чтобы доказать, что все треугольники, нарисованные внутри большого треугольника, равнобедренные.

Рисовать ${\displaystyle BG}$ в ${\displaystyle 20^{\circ }}$ к ${\displaystyle BC}$ пересекающийся ${\displaystyle AC}$ в ${\displaystyle G}$ и нарисовать ${\displaystyle FG.}$ (См. Рисунок внизу справа.)

С ${\displaystyle \angle {BCG}=80^{\circ }}$ и ${\displaystyle \angle {CBG}=20^{\circ }}$ тогда ${\displaystyle \angle {BGC}=80^{\circ }}$ и треугольник ${\displaystyle BCG}$ равнобедренный с ${\displaystyle BC=BG.}$

С ${\displaystyle \angle {BCF}=50^{\circ }}$ и ${\displaystyle \angle {CBF}=80^{\circ }}$ тогда ${\displaystyle \angle {BFC}=50^{\circ }}$ и треугольник ${\displaystyle BCF}$ равнобедренный с ${\displaystyle BC=BF.}$

С ${\displaystyle \angle {FBG}=60^{\circ }}$ и ${\displaystyle BF=BG}$ затем треугольник ${\displaystyle BGF}$ является равносторонний.

С ${\displaystyle \angle {BGE}=100^{\circ }}$ и ${\displaystyle \angle {GBE}=40^{\circ }}$ тогда ${\displaystyle \angle {GEB}=40^{\circ }}$ и треугольник ${\displaystyle BGE}$ равнобедренный с ${\displaystyle GB=GE.}$

Следовательно, все красные линии на рисунке равны.

С ${\displaystyle GE=GF}$ треугольник ${\displaystyle EFG}$ равнобедренный с ${\displaystyle \angle {GEF}=70^{\circ }.}$

Следовательно ${\displaystyle \angle {BEF}=30^{\circ }.}$

Возможны многие другие решения. Разрежьте узел, перечислите двенадцать различных решений и несколько альтернативных задач с одним и тем же треугольником 80-80-20, но с разными внутренними углами.^[4]

Обобщение

проблема случайных четырехугольников

Четырехугольник, такой как BCEF, называется придаточный четырехугольник когда углы между диагоналями и сторонами равны рациональным углам, углам, которые дают рациональное число при измерении в градусах или других единицах, для которых весь круг является рациональным числом. Были построены многочисленные дополнительные четырехугольники, помимо того, что фигурирует в головоломке Лэнгли. Они образуют несколько бесконечных семейств и дополнительный набор единичных примеров.^[5]

Классификация дополнительных четырехугольников (которые не обязательно должны быть выпуклыми) оказывается эквивалентной классификации всех тройных пересечений диагоналей в правильные многоугольники. Это было решено Геррит Бол в 1936 г. (Beantwoording van prijsvraag # 17, Nieuw-Archief voor Wiskunde 18, стр. 14-66). Фактически он классифицировал (хотя и с некоторыми ошибками) все множественные пересечения диагоналей правильными многоугольниками. Его результаты (все сделанные вручную) были подтверждены компьютером, а ошибки исправлены Бьорном Пуненом и Майклом Рубинштейном в 1998 году.^[6] В статье представлена ​​история проблемы и фото с обычным триаконтагон и его диагонали.

В 2015 году анонимная японка под псевдонимом «aerile re» опубликовала первый известный метод (метод трех центров окружности) для построения доказательства в элементарной геометрии для особого класса задач о придаточных четырехугольниках.^[7][8][9] Эта работа решает первую из трех нерешенных проблем, перечисленных Ригби в его статье 1978 года.^[5]

Рекомендации

1. Лэнгли, Э.М. (1922), «Проблема 644», Математический вестник, 11: 173.
2. Дорогой, Дэвид (2004), Универсальная книга математики: от абракадабры до парадоксов Зенона, John Wiley & Sons, стр. 180.
3. Трипп, Колин (1975), «Дополнительные углы», Математический вестник, 59: 98–106, JSTOR  3616644.
4. Богомольный Александр. "Треугольник 80-80-20". www.cut-the-knot.org. Получено 2018-06-03.
5. Ригби, Дж. Ф. (1978), «Придаточные четырехугольники: геометрический подход», Математический вестник, 62 (421): 183–191, Дои:10.2307/3616687, МИСТЕР  0513855.
6. Пунен, Бьорн; Рубинштейн, Майкл (1998), «Количество точек пересечения диагоналями правильного многоугольника» (PDF), Журнал SIAM по дискретной математике, 11 (1): 135–156.
7. Сайто, Хироши (2016), «Придаточные четырехугольники полностью решены элементарным решением», Гендаисугаку (現代 数学) (на японском языке), 49 (590): 66–73, ISSN  2187-6495.
8. aerile_re (2015-10-27), Последний вызов от Geometry the Great (на японском языке), заархивировано из оригинал на 2016-04-16.
9. Сайто, Хироши (2016-12-11), Представляем "метод трех окружностей по центру" - Английский перевод статьи из Гендаисугаку (現代 数学).

внешняя ссылка

• Угловой угол, MathPages