Решетчатый газовый автомат - Lattice gas automaton

ГЭС моделирование газового потока. Оттенки серого отдельных пикселей пропорциональны плотности частиц газа (от 0 до 4) в этом пикселе. Газ окружен оболочкой из желтых ячеек, которые действуют как отражатели, создавая замкнутое пространство.

Решетчатые газовые автоматы (LGA), или же клеточные автоматы на решетке газа, являются разновидностью клеточный автомат используется для моделирования потоков жидкости, впервые разработал Харди–Помо –Де Паццис и Frisch –Hasslacher –Помо. Они были предшественниками решеточные методы Больцмана. Из автоматов решеточного газа можно получить макроскопические Уравнения Навье – Стокса.[1] Интерес к методам автоматов на решетке газа спал в начале 1990-х годов, когда начал расти интерес к решетке Больцмана.[2]

Основные принципы

Как клеточный автомат, эти модели представляют собой решетку, узлы которой могут принимать определенное количество различных состояний. В решетчатом газе различные состояния представляют собой частицы с определенными скоростями. Развитие моделирования происходит в дискретных временных шагах. После каждого временного шага состояние данного сайта может определяться состоянием самого сайта и соседних сайтов, перед временной шаг.

Состояние на каждом сайте чисто логический. На данном сайте либо является или же не является частица движется в каждом направлении.

На каждом временном шаге выполняются два процесса: распространение и столкновение.[3]

На этапе распространения каждая частица будет перемещаться в соседний участок, определяемый скоростью, которую имела эта частица. За исключением любых столкновений, частица с восходящей скоростью после временного шага сохранит эту скорость, но будет перемещена в соседний участок выше исходного. Так называемый принцип исключения предотвращает перемещение двух или более частиц по одному и тому же каналу в одном направлении.

На этапе столкновения правила столкновения используются для определения того, что произойдет, если несколько частиц достигнут одного и того же места. Эти правила столкновения необходимы для поддержания сохранение массы, и сохранить общий импульс; то блочный клеточный автомат Модель может быть использована для достижения этих законов сохранения.[4] Обратите внимание, что принцип исключения не препятствует перемещению двух частиц по одному и тому же звену в противоположный направлениях, когда это происходит, две частицы проходят друг через друга, не сталкиваясь.

Ранние попытки с квадратной решеткой

Мелкомасштабная демонстрация модели ГЭС с квадратной решеткой.

В статьях, опубликованных в 1973 и 1976 годах, Харди, Помо и де Пацци представили первую решеточную модель Больцмана, которая называется Модель ГЭС после авторов. Модель HPP - это двумерная модель взаимодействия жидких частиц. В этой модели решетка имеет квадратную форму, и частицы перемещаются независимо с единичной скоростью в дискретное время. Частицы могут перемещаться в любой из четырех участков, ячейки которых имеют общий край. Частицы не могут двигаться по диагонали.

Если две частицы сталкиваются лицом к лицу, например, частица, движущаяся влево, встречает частицу, движущуюся вправо, в результате две частицы покидают место под прямым углом к ​​направлению, в котором они пришли.[5]

В модели ГЭС не хватало вращательная инвариантность, что сделало модель высоко анизотропный. Это означает, например, что вихри, создаваемые моделью HPP, имеют квадратную форму.[6]

Шестиугольные решетки

Модель гексагональной сетки была впервые представлена ​​в 1986 г. в статье Уриэль Фриш, Brosl Hasslacher и Ив Помо, и это стало известно как модель FHP в честь ее изобретателей. Модель имеет шесть или семь скоростей, в зависимости от того, какая вариация используется. В любом случае шесть скоростей представляют движение к каждому из соседних участков. В некоторых моделях (называемых FHP-II и FHP-III) вводится седьмая скорость, представляющая частицы «в состоянии покоя». «Покоящиеся» частицы не распространяются на соседние узлы, но они способны сталкиваться с другими частицами. Модель FHP-III допускает все возможные столкновения, сохраняющие плотность и импульс.[7] Увеличение количества столкновений увеличивает Число Рейнольдса, поэтому модели FHP-II и FHP-III могут моделировать менее вязкие потоки, чем модель FHP-I с шестью скоростями.[8]

Простое правило обновления модели FHP выполняется в два этапа, выбранных для сохранения числа и импульса частиц. Первый - это обработка столкновений. Правила коллизий в модели FHP не детерминированный, некоторые входные ситуации дают два возможных результата, и когда это происходит, один из них выбирается случайным образом. С генерация случайных чисел невозможно полностью вычислительными средствами, псевдослучайный процесс обычно выбирается.[9]

После этапа столкновения считается, что частица на ссылке покидает сайт. Если к сайту приближаются две частицы, они разлетаются. Случайный выбор делается между двумя возможными исходящими направлениями, которые сохраняют импульс.

Гексагональная сетка не страдает такими большими проблемами анизотропии, как те, которые мешают модели квадратной сетки ГЭС, - удачный факт, который не совсем очевиден и который побудил Фриша отметить, что «боги симметрии доброжелательны».[10]

Три измерения

Для трехмерной сетки единственный регулярный многогранник заполняющий все пространство куб, а единственными правильными многогранниками с достаточно большой группой симметрии являются додекаэдр и икосаэдр (без второго ограничения модель будет иметь те же недостатки, что и модель HPP). Следовательно, чтобы создать модель, которая учитывает три измерения, необходимо увеличить количество измерений, как, например, в модели 1986 года Д'Юмьера, Лаллемана и Фриша, в которой использовалась гранецентрированная модель. гиперкуб модель.[11]

Получение макроскопических величин

Плотность на участке можно определить путем подсчета количества частиц на каждом участке. Если перед суммированием частицы умножить на единицу скорости, можно получить импульс на сайте.[12]

Однако вычисление плотности, количества движения и скорости для отдельных участков связано с большим количеством шума, и на практике для получения более разумных результатов можно усреднить более крупную область. Усреднение по ансамблю часто используется для дальнейшего уменьшения статистического шума.[13]

Преимущества и недостатки

Основными преимуществами модели решеточного газа являются то, что булевы состояния означают, что будут точные вычисления без какой-либо ошибки округления из-за точности с плавающей запятой, и что система клеточных автоматов позволяет запускать моделирование автоматов решеточного газа с параллельные вычисления.[14]

К недостаткам метода решеточного газа можно отнести отсутствие Галилеевская инвариантность, и статистический шум.[15] Другой проблемой является сложность расширения модели для решения трехмерных задач, требующих использования большего количества измерений для поддержания достаточно симметричной сетки для решения таких проблем.[11]

Примечания

  1. ^ Succi, раздел 2.3 описывает процесс
  2. ^ Суччи, раздел 2.6
  3. ^ Buick, раздел 3.4
  4. ^ Вольфрам, Стивен (2002), Новый вид науки, Вольфрам Медиа, стр.459–464, ISBN  1-57955-008-8.
  5. ^ Buick, раздел 3.2.1
  6. ^ Суччи, сноска, стр. 22
  7. ^ Buick, раздел 3.2.2
  8. ^ Wolf-Gladrow 3.2.6, рисунок 3.2.3
  9. ^ Вольф-Гладроу 3.2.1
  10. ^ Суччи, сноска, стр. 23
  11. ^ а б Вольф-Гладроу, разделы 3.4 - 3.5
  12. ^ Buick, раздел 3.5.1
  13. ^ Buick, раздел 3.8
  14. ^ Суччи, раздел 2.4
  15. ^ Суччи, раздел 2.5

Рекомендации

  • Сауро Суччи (2001). Решеточное уравнение Больцмана для гидродинамики и не только. Оксфордские научные публикации. ISBN  0-19-850398-9. (Глава 2 о клеточных автоматах на решетке газа)
  • Джеймс Максвелл Бьюик (1997). Решеточные методы Больцмана в моделировании межфазных волн. Кандидатская диссертация, Эдинбургский университет. (Глава 3 посвящена модели решеточного газа.) (archive.org ) 2008-11-13
  • Дитер А. Вольф-Гладроу (2000). Ячеистые автоматы на решетке и газе и решеточные модели Больцмана. Springer. ISBN  3-540-66973-6.

внешняя ссылка