Регулировка наименьших квадратов - Least squares adjustment - Wikipedia

Регулировка наименьших квадратов модель для решения сверхдетерминированная система уравнений, основанных на принципе наименьших квадратов из остатки наблюдения. Он широко используется в дисциплинах геодезия, геодезия, и фотограмметрия -Поле геоматика, вместе.

Формулировка

Существует три формы корректировки методом наименьших квадратов: параметрический, условный, и комбинированный. В параметрическая регулировка, можно найти уравнение наблюдения h (X) = Y относящиеся наблюдения Y явно в терминах параметров Икс (приводя к A-модели ниже). В условная корректировка, существует уравнение состояния, которое g (Y) = 0 включая только наблюдения Y (приводит к B-модели ниже) - без параметров Икс вообще. Наконец, в комбинированная регулировка, оба параметра Икс и наблюдения Y неявно входят в уравнение смешанной модели f (X, Y) = 0. Ясно, что параметрическая и условная корректировки соответствуют более общему комбинированному случаю, когда f (X, Y) = h (X) -Y и f (X, Y) = g (Y), соответственно. Тем не менее, особые случаи требуют более простых решений, как подробно описано ниже. Часто в литературе Y может быть обозначено L.

Решение

Приведенные выше равенства справедливы только для предполагаемых параметров ${\displaystyle {\hat {X}}}$ и наблюдения ${\displaystyle {\hat {Y}}}$, таким образом ${\displaystyle f\left({\hat {X}},{\hat {Y}}\right)=0}$. Напротив, измеренные наблюдения ${\displaystyle {\tilde {Y}}}$ и приблизительные параметры ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ произвести ненулевой путаница:

${\displaystyle {\tilde {w}}=f\left({\tilde {X}},{\tilde {Y}}\right).}$

Можно перейти к Расширение ряда Тейлора уравнений, что приводит к Якобианцы или же расчетные матрицы: первый,

${\displaystyle A=\partial {f}/\partial {X};}$

и второй,

${\displaystyle B=\partial {f}/\partial {Y}.}$

Затем линеаризованная модель гласит:

${\displaystyle {\tilde {w}}+A{\hat {x}}+B{\hat {y}}=0,}$

куда ${\displaystyle {\hat {x}}={\hat {X}}-{\tilde {X}}}$ оцениваются корректировка параметров к априори ценности и ${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {Y}}-{\tilde {Y}}}$ пост-пригонки наблюдение остатки.

В параметрической настройке вторая матрица проекта является идентичностью, B = -I, а вектор невязки можно интерпретировать как невязки предварительной подгонки, ${\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {w}}=h({\tilde {X}})-{\tilde {Y}}}$, поэтому система упрощается до:

${\displaystyle A{\hat {x}}={\hat {y}}-{\tilde {y}},}$

который находится в форме обыкновенный метод наименьших квадратов. При условной корректировке первая матрица плана равна нулю, А = 0.Для более общих случаев Множители Лагранжа введены, чтобы связать две матрицы Якоби и преобразовать сдержанный задачу наименьших квадратов в неограниченную (хотя и более крупную). В любом случае их манипуляции приводят к ${\displaystyle {\hat {X}}}$ и ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ векторы, а также соответствующие параметры и наблюдения апостериорный ковариационные матрицы.

Вычисление

Учитывая указанные выше матрицы и векторы, их решение находится с помощью стандартных методов наименьших квадратов; например, формирование нормальная матрица и применяя Разложение Холецкого, применяя QR-факторизация непосредственно к матрице Якоби, итерационные методы для очень больших систем и т. д.

Отработанные примеры

Приложения

• Выравнивание, траверс, и сети управления
• Регулировка связки
• Триангуляция, Трилатерация, Триангуляция
• GPS /GNSS позиционирование
• Преобразование Гельмерта

Связанные понятия

• Параметрическая регулировка аналогична большинству регрессивный анализ и совпадает с Модель Гаусса – Маркова
• Комбинированная регулировка, также известная как Модель Гаусса – Гельмерта,^[1][2] (назван в честь немецких математиков / геодезистов К.Ф. Гаусс и F.R. Helmert ) относится к модели ошибок в переменных^[3]

• Использование априори ковариационная матрица параметров похожа на Тихоновская регуляризация

Расширения

Если дефицит ранга встречается, это часто можно исправить путем включения дополнительных уравнений, налагающих ограничения на параметры и / или наблюдения, что приводит к метод наименьших квадратов с ограничениями.

Рекомендации

1. «Модель Гаусса-Гельмерта» в: Самуэль Коц; Н. Балакришнан; Кэмпбелл Рид Брани Видакович (2006), Энциклопедия статистических наук, Wiley. DOI: 10.1002 / 0471667196.ess0854
2. Дж. Котрен (2005), «Надежность в ограниченных моделях Гаусса – Маркова», Отчет № 473. Департамент гражданской и экологической инженерии и геодезических наук. Государственный университет Огайо. [1], уравнение (2.31), стр.8
3. Сноу, Кайл, Темы по корректировке методом полного наименьшего квадрата в модели ошибок в переменных: матрицы сингулярных кофакторов и априорная информация [pdf], vii + 90 pp, декабрь 2012 г. [2]

Библиография

Конспекты лекций и технические отчеты

• Нико Сниув и Фридхельм Крам, «Теория приспособления», Geodätisches Institut, Universität Stuttgart, 2014
• Краковский, «Синтез последних достижений в методе наименьших квадратов», Конспект лекции № 42, Кафедра геодезии и геоматики, Университет Нью-Брансуика, 1975
• Кросс, П.А. «Расширенный метод наименьших квадратов, применяемый для определения местоположения», Университет Восточного Лондона, Школа геодезии, Рабочий документ № 6, ISSN  0260-9142, Январь 1994 г. Первое издание, апрель 1983 г., перепечатано с исправлениями, январь 1990 г. (Оригинальные рабочие документы, Политехнический институт Северо-Востока Лондона, Геодезический факультет, 205 стр., 1983.)
• Сноу, Кайл Б., Применение оценки параметров и проверки гипотез для настройки сети GPS, Отдел геодезических наук, Государственный университет Огайо, 2002

Книги и главы

• Рейно Антеро Хирвонен, "Уравнивание методом наименьших квадратов в геодезии и фотограмметрии", Ангар, Нью-Йорк. 261 с., ISBN  0804443971, ISBN  978-0804443975, 1971.
• Эдвард М. Михаил, Фридрих Э. Акерманн, "Наблюдения и метод наименьших квадратов", University Press of America, 1982
• Вольф, Пол Р. (1995). «Корректировка измерений обзора по методу наименьших квадратов». Справочник геодезии. С. 383–413. Дои:10.1007/978-1-4615-2067-2_16.
• Петер Ваничек и Э.Дж. Краковский, "Геодезия: концепции". Амстердам: Эльзевир. (третье изд.): ISBN  0-444-87777-0, ISBN  978-0-444-87777-2; глава 12, "Решение переопределенных моделей методом наименьших квадратов", стр. 202–213, 1986.
• Гилберт Стрэнг и Кай Борре, "Линейная алгебра, геодезия и GPS", SIAM, 624 страницы, 1997.
• Пол Вольф и Бон ДеВитт, "Элементы фотограмметрии с приложениями в ГИС", McGraw-Hill, 2000
• Карл-Рудольф Кох, "Оценка параметров и проверка гипотез в линейных моделях", 2-е изд., Springer, 2000 г.
• П.Дж.Г. Teunissen, "Теория адаптации, введение", Delft Academic Press, 2000
• Эдвард М. Михаил, Джеймс С. Бетел, Дж. Крис МакГлоун, «Введение в современную фотограмметрию», Wiley, 2001
• Харви, Брюс Р., «Практические методы наименьших квадратов и статистика для геодезистов», Монография 13, третье издание, Школа геодезических и пространственных информационных систем, Университет Нового Южного Уэльса, 2006 г.
• Хуаан Фань, "Теория ошибок и корректировка методом наименьших квадратов", Королевский технологический институт (KTH), Отдел геодезии и геоинформатики, Стокгольм, Швеция, 2010 г., ISBN  91-7170-200-8.
• Gielsdorf, F .; Хиллманн, Т. (2011). «Математика и статистика». Справочник Springer по географической информации. п. 7. Дои:10.1007/978-3-540-72680-7_2. ISBN  978-3-540-72678-4.
• Чарльз Д. Гилани, «Вычисления корректировки: анализ пространственных данных», John Wiley & Sons, 2011 г.
• Чарльз Д. Гилани и Пол Р. Вольф, «Элементарная геодезия: введение в геоматику», 13-е издание, Прентис-Холл, 2011 г.
• Эрик Графаранд и Джозеф Аванж, «Применение линейных и нелинейных моделей: фиксированные эффекты, случайные эффекты и общие наименьшие квадраты», Springer, 2012 г.
• Альфред Лейк, Лев Рапопорт и Дмитрий Татарников, "Спутниковая съемка GPS", 4-е издание, John Wiley & Sons, ISBN  9781119018612; Глава 2, «Корректировка методом наименьших квадратов», стр. 11–79, doi: 10.1002 / 9781119018612.ch2
• А. Фотиу (2018) «Обсуждение корректировки методом наименьших квадратов с рабочими примерами» В: Фотиу А., Россикопулос Д., ред. (2018): «Quod erat manifestrandum. В поисках окончательной геодезической информации ». Специальный выпуск для заслуженного профессора Афанасиоса Дерманиса. Публикация Школы сельского и геодезического строительства Университета Аристотеля в Салониках, 405 страниц. ISBN  978-960-89704-4-1 [3]
• Джон Олусегун Огундаре (2018), «Понимание оценки методом наименьших квадратов и анализа геоматических данных», John Wiley & Sons, 720 страниц, ISBN  9781119501404.