Неравенство Левинсона - Levinsons inequality - Wikipedia

В математика, Неравенство Левинсона является следующим неравенством в силу Норман Левинсон с положительными числами. Позволять ${\displaystyle a>0}$ и разреши ${\displaystyle f}$ - заданная функция, имеющая третью производную в диапазоне ${\displaystyle (0,2a)}$, и такой, что

${\displaystyle f'''(x)\geq 0}$

для всех ${\displaystyle x\in (0,2a)}$. Предполагать ${\displaystyle 0<x_{i}\leq a}$ и ${\displaystyle 0<p_{i}}$ за ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$. потом

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right).}$

В Кай Фань неравенство является частным случаем неравенства Левинсона, где

${\displaystyle p_{i}=1,\ a={\frac {1}{2}},}$

и

${\displaystyle f(x)=\log x.}$

Рекомендации

• Скотт Лоуренс и Дэниел Сегалман: Обобщение двух неравенств с участием средних, Труды Американского математического общества. Vol 35 No. 1, сентябрь 1972 г.
• Норман Левинсон: Обобщение неравенства Ки Фана, Журнал математического анализа и приложений. Том 8 (1964), 133–134.