Расслоение алгебры Ли - Lie algebra bundle

В математика, а расслоение слабой алгебры Ли

${displaystyle xi =(xi ,p,X, heta ),}$

это векторный набор ${displaystyle xi ,}$ над базовым пространством Икс вместе с морфизмом

${displaystyle heta :xi otimes xi ightarrow xi }$

что вызывает Алгебра Ли структура на каждом волокне ${displaystyle xi _{x},}$.

А Расслоение алгебры Ли ${displaystyle xi =(xi ,p,X),}$ это векторный набор в котором каждый слой является алгеброй Ли и для каждого Икс в Икс, существует открытый набор ${displaystyle U}$ содержащий Икс, алгебра Ли L и гомеоморфизм

${displaystyle phi :U imes L o p^{-1}(U),}$

такой, что

${displaystyle phi _{x}:x imes Lightarrow p^{-1}(x),}$

является изоморфизмом алгебр Ли.

Любое расслоение алгебр Ли является слабым расслоением алгебр Ли, но обратное утверждение в общем случае не обязательно.

В качестве примера расслоения слабых алгебр Ли, которое не является сильным расслоением алгебр Ли, рассмотрим тотальное пространство ${displaystyle {mathfrak {so}}(3) imes mathbb {R} }$ по реальной линии ${displaystyle mathbb {R} }$. Обозначим через [.,.] Скобку Ли ${displaystyle {mathfrak {so}}(3)}$ и деформируем его реальным параметром как:

${displaystyle [X,Y]_{x}=xcdot [X,Y]}$

за ${displaystyle X,Yin {mathfrak {so}}(3)}$ и ${displaystyle xin mathbb {R} }$.

Третья теорема Ли утверждает, что каждое расслоение алгебр Ли может быть локально интегрировано в расслоение групп Ли. В целом глобально общее пространство может не быть Хаусдорф.^[1]. Но если все слои расслоения вещественных алгебр Ли над топологическим пространством взаимно изоморфны как алгебры Ли, то это локально тривиальное расслоение алгебр Ли. Этот результат был доказан путем доказательства того, что действительная орбита вещественной точки под действием алгебраической группы открыта в действительной части ее комплексной орбиты. Предположим, что базовое пространство хаусдорфово и слои тотального пространства изоморфны как алгебры Ли, тогда существует хаусдорфово групповое расслоение Ли над тем же базовым пространством, расслоение алгебр Ли которого изоморфно данному расслоению алгебр Ли. ^[2]. Всякое полупростое расслоение алгебр Ли локально тривиально. Следовательно, существует хаусдорфово групповое расслоение над тем же базовым пространством, расслоение алгебр Ли которого изоморфно данному расслоению алгебр Ли ^[3].

Рекомендации

1. А. Вайнштейн, А.С. да Силва: Геометрические модели для некоммутативных алгебр, 1999 Berkley LNM, онлайн-чтение по адресу [1], в частности главу 16.3.
2. B S Kiranangi: Связки алгебры Ли, Бюл. Sc. Math., 2 ^ {e} serie, 102,1978, с.57-62.
3. B S Kiranangi: Полупростые расслоения алгебры Ли, Бюл. Математика. de la Sci. Математика. де ла Р.С. de Roumanie, 27 (75), 1983, p.253-257.

• Дуади, Адриан; Лазар, Мишель (1966). "Espaces fibrés en algèbres de Lie et en groupes". Inventiones Mathematicae. 1 (2): 133–151. Дои:10.1007 / BF01389725.
• Kiranagi, B.S .; Кумар, Ранджита; Према, Г. (2015). «О вполне полупростых расслоениях алгебр Ли». Журнал алгебры и ее приложений. 14 (2): 1550009. Дои:10.1142 / S0219498815500097.

Смотрите также

• Связка алгебры
• Присоединенный комплект