Условие Линдебергса - Lindebergs condition - Wikipedia

В теория вероятности, Состояние Линдеберга это достаточное условие (а при определенных условиях также необходимое условие) для Центральная предельная теорема (CLT) для последовательности независимых случайные переменные.^[1][2][3] В отличие от классической CLT, которая требует, чтобы рассматриваемые случайные величины имели конечные отклонение и быть обоими независимые и одинаково распределенные, CLT Линдеберга требуется только, чтобы они имели конечную дисперсию, удовлетворяли условию Линдеберга и были независимый. Он назван в честь финского математика. Ярл Вальдемар Линдеберг.^[4]

Заявление

Позволять ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ быть вероятностное пространство, и ${\displaystyle X_{k}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,\,k\in \mathbb {N} }$, быть независимый случайные величины, определенные в этом пространстве. Предположим ожидаемые значения ${\displaystyle \mathbb {E} \,[X_{k}]=\mu _{k}}$ и отклонения ${\displaystyle \mathrm {Var} \,[X_{k}]=\sigma _{k}^{2}}$ существуют и конечны. Также позвольте ${\displaystyle s_{n}^{2}:=\sum _{k=1}^{n}\sigma _{k}^{2}.}$

Если эта последовательность независимых случайных величин ${\displaystyle X_{k}}$ удовлетворяет Состояние Линдеберга:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} \left[(X_{k}-\mu _{k})^{2}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{k}-\mu _{k}|>\varepsilon s_{n}\}}\right]=0}$

для всех ${\displaystyle \varepsilon >0}$, куда 1_{…} это индикаторная функция, то Центральная предельная теорема выполняется, т.е. случайные величины

${\displaystyle Z_{n}:={\frac {\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-\mu _{k})}{s_{n}}}}$

сходиться в распределении к стандартная нормальная случайная величина в качестве ${\displaystyle n\to \infty .}$

Условие Линдеберга является достаточным, но в общем случае не необходимым (т.е. обратная импликация в общем случае не выполняется) .Однако, если рассматриваемая последовательность независимых случайных величин удовлетворяет

${\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0,\quad {\text{ as }}n\to \infty ,}$

то условие Линдеберга является достаточным и необходимым, т.е. оно выполняется тогда и только тогда, когда выполняется результат центральной предельной теоремы.

Замечания

Теорема Феллера

Теорема Феллера может быть использована как альтернативный метод доказательства выполнения условия Линдеберга.^[5] Сдача ${\displaystyle S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}$ и для простоты ${\displaystyle \mathbb {E} \,[X_{k}]=0}$, теорема утверждает

если ${\displaystyle \forall \epsilon >0}$, ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\max _{1\leq k\leq n}P(|X_{k}|>\epsilon s_{n})=0}$ и ${\displaystyle {\frac {S_{n}}{s_{n}}}}$ слабо сходится к стандарту нормальное распределение в качестве ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ тогда ${\displaystyle X_{k}}$ удовлетворяет условию Линдеберга.

Эта теорема может быть использована для опровержения Центральная предельная теорема относится к ${\displaystyle X_{k}}$ используя доказательство от противного. Эта процедура включает доказательство того, что условие Линдеберга не выполняется для ${\displaystyle X_{k}}$.

Интерпретация

Поскольку из условия Линдеберга следует ${\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0}$ в качестве ${\displaystyle n\to \infty }$, это гарантирует, что вклад любой индивидуальной случайной величины ${\displaystyle X_{k}}$ (${\displaystyle 1\leq k\leq n}$) к дисперсии ${\displaystyle s_{n}^{2}}$ сколь угодно мала, при достаточно больших значениях ${\displaystyle n}$.

Смотрите также

• Условие Ляпунова
• Центральная предельная теорема

Рекомендации

1. Биллингсли, П. (1986). Вероятность и мера (2-е изд.). Вайли. п. 369.
2. Эш, Р. Б. (2000). Теория вероятностей и меры (2-е изд.). п.307.
3. Резник, С. И. (1999). Путь вероятности. п.314.
4. Линдеберг, Дж. У. (1922). "Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung". Mathematische Zeitschrift. 15 (1): 211–225. Дои:10.1007 / BF01494395.
5. К. Б. Атрейя, С. Н. Лахири (2006), Теория меры и теория вероятностей. п. 348.