Уравнение Лиувилля – Брату – Гельфанда. - Liouville–Bratu–Gelfand equation

Для уравнения Лиувилля в дифференциальной геометрии см. Уравнение Лиувилля.

В математика, Уравнение Лиувилля – Брату – Гельфанда. или же Уравнение Лиувилля нелинейный Уравнение Пуассона, названный в честь математиков Джозеф Лиувиль,^[1] Г. Брату^[2] и Израиль Гельфанд.^[3] Уравнение гласит

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda e^{\psi }=0}$

Уравнение появляется в тепловой разгон в качестве Теория Франк-Каменецкого, астрофизика Например, Уравнение Эмдена – Чандрасекара. Это уравнение также описывает объемный заряд электричества вокруг светящегося провода.^[4] и описывает планетарная туманность.

Решение Лиувилля^[5]

В двух измерениях с декартовыми координатами ${\displaystyle (x,y)}$, Джозеф Лиувиль предложил решение в 1853 году как

${\displaystyle \lambda e^{\psi }(u^{2}+v^{2}+1)^{2}=2\left[\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\right]}$

куда ${\displaystyle f(z)=u+iv}$ произвольный аналитическая функция с ${\displaystyle z=x+iy}$. В 1915 году Г.В. Уокер^[6] нашел решение, приняв форму для ${\displaystyle f(z)}$. Если ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$, то решение Уокера

${\displaystyle 8e^{-\psi }=\lambda \left[\left({\frac {r}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}\right]^{2}}$

куда ${\displaystyle a}$ - некоторый конечный радиус. Это решение затухает на бесконечности при любом ${\displaystyle n}$, но становится бесконечным в начале координат при ${\displaystyle n<1}$ , становится конечным в нуле при ${\displaystyle n=1}$ и обращается в ноль в начале координат при ${\displaystyle n>1}$. Уокер также предложил еще два решения в своей статье 1915 года.

Радиально-симметричные формы

Если исследуемая система радиально симметрична, то уравнение в ${\displaystyle n}$ измерение становится

${\displaystyle \psi ''+{\frac {n-1}{r}}\psi '+\lambda e^{\psi }=0}$

куда ${\displaystyle r}$ расстояние от начала координат. С граничными условиями

${\displaystyle \psi '(0)=0,\quad \psi (1)=0}$

и для ${\displaystyle \lambda \geq 0}$, реальное решение существует только для ${\displaystyle \lambda \in [0,\lambda _{c}]}$, куда ${\displaystyle \lambda _{c}}$ критический параметр, называемый Параметр Франк-Каменецкого. Критический параметр ${\displaystyle \lambda _{c}=0.8785}$ за ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle \lambda _{c}=2}$ за ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle \lambda _{c}=3.32}$ за ${\displaystyle n=3}$. За ${\displaystyle n=1,\ 2}$существует два решения и для ${\displaystyle 3\leq n\leq 9}$ бесконечно много решений существует с решениями, колеблющимися вокруг точки ${\displaystyle \lambda =2(n-2)}$. За ${\displaystyle n\geq 10}$, решение единственное, и в этих случаях критический параметр определяется выражением ${\displaystyle \lambda _{c}=2(n-2)}$. Кратность решения для ${\displaystyle n=3}$ был обнаружен Израиль Гельфанд в 1963 г., а затем в 1973 г. обобщено для всех ${\displaystyle n}$ к Дэниел Д. Джозеф и Томас С. Лундгрен.^[7]

Рекомендации

1. Liouville, J. "Sur l’équation aux différences partielles ${\displaystyle {\frac {d^{2}\log \lambda }{dudv}}\pm {\frac {\lambda }{2a^{2}}}=0}$. "Journal de mathématiques pures et appliquées (1853): 71–72. http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1853_1_18_A3_0.pdf
2. Брату, Г. "Sur les équations intégrales non linéaires". Bulletin de la Société Mathématique de France 42 (1914): 113–142.http://archive.numdam.org/article/BSMF_1914__42__113_0.pdf
3. Гельфанд И. М. «Некоторые вопросы теории квазилинейных уравнений». Амер. Математика. Soc. Перевод 29.2 (1963): 295–381. http://www.mathnet.ru/links/aa75c5d339030f17940afb64e17793d8/rm7290.pdf
4. Ричардсон, Оуэн Уилланс. Выброс электричества горячими телами. Лонгманс, Грин и компания, 1921 год.
5. Бейтман, Гарри. «Уравнения в частных производных математической физики». Уравнения математической физики с частными производными, Х. Бейтман, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, 1932 (1932).
6. Уокер, Джордж У. "Некоторые проблемы, иллюстрирующие формы туманностей". Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащие статьи математического и физического характера 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1
7. Джозеф, Д. Д., и Т. С. Лундгрен. «Квазилинейные задачи Дирихле, основанные на положительных источниках». Архив рациональной механики и анализа 49.4 (1973): 241-269.