Уравнение Лугиато – Лефевера - Lugiato–Lefever equation

Модель обычно обозначается как Уравнение Лугиато – Лефевера (LLE) была сформулирована в 1987 г. Луиджи Лугиато и Рене Лефевер ^[1] как парадигма спонтанного формирование рисунка в нелинейных оптических системах.^[2][3][4] Картины возникают в результате взаимодействия когерентного поля, которое вводится в резонансный оптический резонатор, с Керр среда, заполняющая полость.

Одно и то же уравнение управляет двумя типами паттернов: стационарными паттернами, которые возникают в плоскостях, ортогональных по отношению к направлению распространения света (поперечные узоры) и узоры, образующиеся в продольном направлении (продольный узоры), движутся вдоль полости со скоростью света в среде и вызывают последовательность импульсов на выходе из резонатора.

Случай с продольными узорами неразрывно связан с феноменом «Гребенки частоты Керра ”В микрорезонаторах, открытых в 2007 году Тобиасом Киппенбергом и его сотрудниками,^[5] это вызвало очень живой интерес, особенно из-за того, что оно открыло широкое применение.

Уравнение

На рисунке 1 показан световой луч, распространяющийся в ${\displaystyle z}$ направление, в то время как ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ - поперечные направления. Если предположить, что электрическое поле как ${\displaystyle {\cal {E}}(x,y,z,t)}$ , куда ${\displaystyle t}$ обозначает время, линейно поляризовано и поэтому может рассматриваться как скаляр, мы можем выразить его в терминах медленно меняющейся нормализованной комплексной огибающей ${\displaystyle E(x,y,z,t)}$ таким образом

Рисунок 1. Луч света распространяется по ${\displaystyle z}$ направление. ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ поперечные направления

${\displaystyle {\cal {E}}(x,y,z,t)\propto E(x,y,z,t)e^{i(\omega _{0}/{\tilde {c}})(z-{\tilde {c}}t)}+{\text{c.c.}}}$

куда ${\displaystyle \omega _{0}}$ - частота светового луча, вводимого в резонатор, и ${\displaystyle {\tilde {c}}}$ скорости света в Керр средний который заполняет полость. Для определенности рассмотрим кольцевой резонатор (рис. 2) очень высокого качества (резонатор High-Q).

Фигура 2. Вид сверху кольцевой полости

В исходном LLE,^[1] предполагаются такие условия, что конверт ${\displaystyle E}$ не зависит от продольной переменной ${\displaystyle z}$ (т.е. равномерное по полости), так что ${\displaystyle E=E(x,y,t)}$. Уравнение гласит

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial {\bar {t}}}}=E_{\text{in}}-E-i\theta E+i|E|^{2}E+i\nabla _{\perp }^{2}E}$

(1)

${\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}E={\frac {\partial ^{2}E}{\partial {\bar {x}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E}{\partial {\bar {y}}^{2}}}}$

куда ${\displaystyle {\bar {t}}}$ и ${\displaystyle {\bar {x}}}$, ${\displaystyle {\bar {y}}}$ нормализованные временные и пространственные переменные, т.е. ${\displaystyle {\bar {t}}=\kappa t}$, ${\displaystyle {\bar {x}}=x/\ell _{d}}$, ${\displaystyle {\bar {y}}=y/\ell _{d}}$, с ${\displaystyle \kappa }$ скорость распада или ширина линии резонатора, ${\displaystyle \ell _{d}}$ длина дифракции в резонаторе. ${\displaystyle \theta =(\omega _{c}-\omega _{0})/\kappa }$ - параметр расстройки резонатора, где ${\displaystyle \omega _{c}}$ частота резонатора, ближайшая к ${\displaystyle \omega _{0}}$. В правой части уравнения (1), ${\displaystyle E_{\text{in}}}$ - нормализованная амплитуда входного поля, которое вводится в резонатор, второй - член затухания, третий - член расстройки, четвертый - кубический нелинейный член, учитывающий среду Керра, последний член с поперечным Лапласиан ${\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}}$ описывает дифракцию в параксиальном приближении. Предполагаются условия самофокусировки.

Обратимся к уравнению (1) как поперечный ЛПЭ. Несколько лет спустя^[1] появилась постановка продольного ЛПЭ, в котором дифракция заменена дисперсией.^[6][7] В этом случае предполагается, что конверт ${\displaystyle E}$ не зависит от поперечных переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, так что ${\displaystyle E=E(z,t)}$. Продольный LLE читает

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial {\bar {t}}}}=E_{\text{in}}-E-i\theta E+i|E|^{2}E+i{\frac {\partial ^{2}E}{\partial {\bar {z}}^{2}}}}$

(2)

с ${\displaystyle {\bar {z}}=z/a}$, куда ${\displaystyle a}$ зависит, в частности, от параметра дисперсии во втором порядке. Предполагаются условия аномального рассеивания. Важным моментом является то, что однажды ${\displaystyle E({\bar {z}},{\bar {t}})}$ получается путем решения уравнения (2), необходимо вернуться к исходным переменным ${\displaystyle z,t}$ и заменить ${\displaystyle z}$ к ${\displaystyle z-{\tilde {c}}t}$, так что ${\displaystyle z}$-зависимое стационарное решение (стационарный образец) становится движущейся схемой (со скоростью ${\displaystyle {\tilde {c}}}$).

С математической точки зрения, LLE представляет собой управляемый, затухающий, расстроенный нелинейное уравнение Шредингера.

Поперечный LLE (1) находится в 2D с пространственной точки зрения. В конфигурации волновода ${\displaystyle E}$ зависит только от одной пространственной переменной, скажем ${\displaystyle x}$, а поперечный лапласиан заменяется на ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E}{\partial {\bar {x}}^{2}}}}$ и один имеет поперечный LLE в 1D. Продольный LLE (2) эквивалентен поперечной LLE в 1D.

В некоторых работах, посвященных продольному случаю, рассматривается дисперсия выше второго порядка, так что уравнение (2) включает также члены с производными порядка выше второго по ${\displaystyle {\bar {z}}}$.

Единые стационарные решения. Связь с оптическая бистабильность. Четырехволновое смешение и формирование рисунка.

Рисунок 3. Стационарная кривая нормированной выходной интенсивности ${\displaystyle |E|^{2}}$ как функция нормированной входной интенсивности ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$ за ${\displaystyle \theta =4}$. Стационарные состояния на участке с отрицательным наклоном неустойчивы. Стрелки показывают цикл гистерезиса, который покрывается, когда ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$ увеличивается, а затем уменьшается.

Остановимся на случае, когда конверт ${\displaystyle E}$ постоянна, т.е.на стационарных решениях, не зависящих от всех пространственных переменных. Отбросив все производные в уравнениях (1) и (2), и взяв квадрат модуля, получаем стационарное уравнение

${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}=|E|^{2}\left\{1+(\theta -|E|^{2})^{2}\right\}}$

(3)

Если построить стационарную кривую ${\displaystyle |E|^{2}}$ как функция ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$, когда ${\displaystyle \theta >{\sqrt {3}}}$ получим кривую, подобную показанной на рис.3.

Кривая ${\displaystyle S}$-образный и имеется интервал значений ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$ где есть три стационарных состояния. Однако состояния, лежащие в сегменте с отрицательным наклоном, являются нестабильными, так что в интервале есть два сосуществующих устойчивых стационарных состояния: это явление называется оптическая бистабильность.^[8] Если входная интенсивность ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$ увеличивается, а затем уменьшается, покрывается цикл гистерезиса.

Если говорить о модах пустого резонатора, то в случае однородных стационарных решений, описываемых уравнением (3) электрическое поле одномодовое, соответствующее режиму частоты ${\displaystyle \omega _{c}}$ квазирезонансный с входной частотой ${\displaystyle \omega _{0}}$.

В поперечной конфигурации уравнения (1) в случае этих стационарных решений E соответствует одномодовая плоская волна ${\displaystyle e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}}$ с ${\displaystyle k_{x}=k_{y}=0}$, куда ${\displaystyle k_{x}}$ и ${\displaystyle k_{y}}$ - поперечные компоненты волнового вектора, точно так же, как входное поле ${\displaystyle E_{\text{in}}}$.

Кубическая керровская нелинейность уравнений (1) и (2) порождает четырехволновое смешение (FWM), который может генерировать другие режимы, так что конверт ${\displaystyle E}$ отображает пространственную картину: в поперечной плоскости в случае уравнения (1) вдоль полости в случае уравнения (2).

Поперечные узоры и солитоны резонатора

В поперечном случае уравнения (1) картина возникает в результате взаимодействия FWM и дифракции. FWM может вызвать, например, процессы, в которых пары фотонов с ${\displaystyle k_{x}=k_{y}=0}$ поглощаются, и одновременно система излучает пары фотонов с ${\displaystyle k_{x}={\bar {k}}_{x}}$, ${\displaystyle k_{y}=0}$ и ${\displaystyle k_{x}=-{\bar {k}}_{x}}$, ${\displaystyle k_{y}=0}$ таким образом, что полная энергия фотонов и их полный импульс сохраняются (рис.4).

Рисунок 4. Четырехволновой процесс смешения, в котором два фотона с ${\displaystyle k_{x}=k_{y}=0}$ поглощаются и два фотона с ${\displaystyle k_{x}={\bar {k}}_{x},k_{y}=0}$ и ${\displaystyle k_{x}=-{\bar {k}}_{x},k_{y}=0}$ испускаются. ${\displaystyle k_{x}}$, ${\displaystyle k_{y}}$ и ${\displaystyle k_{z}}$ компоненты волновых векторов.

Фактически в игру вступают и другие процессы FWM, так что ${\displaystyle E(x,y)}$ предполагает конфигурацию шестиугольного узора ^[9](см. рис.5).

Рисунок 5. Типичная конфигурация рисунка, возникающая в поперечных плоскостях на выходе, представляет собой гексагональный рисунок.

Шаблон отображает упорядоченный массив пиков интенсивности. Можно также генерировать изолированные пики интенсивности,^[10] которые называются солитон резонатораs (см. рис. 6). Поскольку солитоны резонатора можно «записывать» и «стирать» один за другим в поперечной плоскости, как на классной доске, они представляют большой интерес для приложений для оптической обработки информации и телекоммуникаций.

Рисунок 6. Типичный солитон керровской полости в поперечной плоскости, показывающий яркий пик на темном фоне с дифракционными кольцами.

Продольные картины и солитоны резонатора

В продольном случае уравнения (2) паттерны возникают в результате взаимодействия FWM и дисперсии. FWM может вызвать, например, процессы, в которых пары фотонов продольной моды квазирезонансны с ${\displaystyle \omega _{0}}$ поглощаются, и одновременно система испускает пары фотонов, соответствующие модам резонатора, симметрично смежным с квазирезонансной модой, таким образом, что сохраняется полная энергия фотона, а также полный продольный импульс фотона.

Рисунок 7. Пример продольного рисунка, который движется вдоль полости со скоростью света в среде и порождает периодическую последовательность импульсов на выходе.

На рис. 7 показан пример рисунков, которые создаются и перемещаются по полости и выходят из нее. Как и в поперечном случае, в продольной конфигурации могут генерироваться одиночные или множественные солитоны керровской полости; На рис.8 показан случай солитона с одним резонатором, который циркулирует в резонаторе и генерирует на выходе последовательность узких импульсов. Такие солитоны впервые наблюдались в волоконном резонаторе.^[11]

Рисунок 8. Продольные солитоны керровской полости.

Важно отметить, что нестабильность, которая порождает продольные структуры и солитоны резонатора в LLE, является частным случаем многомодовой неустойчивости оптической бистабильности, предсказанной Бонифачо и Луджиато в ^[12] и впервые наблюдались экспериментально в.^[13]

Микрорезонаторы частотные гребенки Керра и солитоны резонатора

Гребни с оптическими частотами представляют собой эквидистантный набор лазерных частот, которые можно использовать для подсчета световых циклов. Этот метод, представленный Теодор Хенш ^[14] и Джон Холл ^[15] с помощью лазеры с синхронизацией мод, привело к множеству приложений. Работа ^[5] продемонстрировали реализацию широкополосных оптических частотных гребенок, использующих моды шепчущей галереи, активируемые непрерывным лазерным полем, инжектируемым в высокодобротный микрорезонатор, заполненный керровской средой, что приводит к FWM. С тех пор частотные гребенки Керра (KFC), ширина полосы которых может превышать октаву с частотой повторения в диапазоне частот от микроволнового до ТГц, были созданы в большом количестве микрорезонаторов; обзоры на эту тему см., например,^[16][17] Они обладают значительным потенциалом для миниатюризации и фотонной интеграции на уровне кристалла, а также для снижения мощности. Сегодня генерация KFC - это зрелая область, и эта технология была применена в нескольких областях, включая когерентную связь, спектроскопию, атомные часы, а также лазерную локацию и калибровку астрофизического спектрометра.

Ключевым стимулом для этих разработок стала реализация солитонов резонатора Керра в микрорезонаторах.^[18] открытие возможности использования солитонов керровского резонатора в фотонных интегральных микрорезонаторах.

Продольный LLE (2) дает пространственно-временную картину вовлеченных явлений, но со спектральной точки зрения ее решения соответствуют KFC. Связь между темой оптического KFC и LLE была теоретически развита в.^{[18][19][20][21][22]} Эти авторы показали, что LLE (или обобщения, включая дисперсионные члены более высокого порядка) - это модель, которая описывает генерацию KFC и способна предсказывать их свойства при изменении параметров системы. Спонтанное образование пространственных структур и солитонов, движущихся вдоль полости, описываемой LLE, является пространственно-временным эквивалентом частотных гребенок и определяет их свойства. Довольно идеализированные условия, принятые при формулировке LLE, особенно условие высокой добротности, были идеально материализованы впечатляющим техническим прогрессом, который произошел за это время в области фотоники и привел, в частности, к открытию KFC.

Квантовые аспекты

Два фотона, которые, как показано на рисунке 4, испускаются в симметрично наклоненных направлениях в процессе FWM, находятся в состоянии квантовая запутанность: они точно коррелируют, например, по энергии и импульсу. Этот факт является фундаментальным для квантовых аспектов оптических структур. Например, разница между интенсивностями двух симметричных лучей сжимается, т. Е. Проявляются колебания ниже уровня дробового шума;^[23] продольный аналог этого явления экспериментально наблюдался в KFC.^[24] В свою очередь, такие квантовые аспекты являются базовыми для области квантовое изображение.^[25][26]

Обзорные статьи

Для обзоров по предмету LLE см. Также.^[27][28][29]

Смотрите также

• Четырехволновое смешение
• Частотная гребенка
• Гребенка частоты Керра
• Нелинейное уравнение Шредингера
• Оптическая бистабильность
• Формирование паттерна

Рекомендации

1. Lugiato, L.A .; Лефевер Р. (1987). «Пространственные диссипативные структуры в пассивных оптических системах». Письма с физическими проверками. 58 (21): 2209–2211. Bibcode:1987ПхРвЛ..58.2209Л. Дои:10.1103 / PhysRevLett.58.2209. PMID  10034681.
2. Тьюринг, А.М. (1952). «Химические основы морфогенеза». Философские труды Лондонского королевского общества B: Биологические науки. 237 (641): 37–72. Bibcode:1952РСПТБ.237 ... 37Т. Дои:10.1098 / рстб.1952.0012.
3. Nicolis, G .; Пригожин И. (1977). Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к порядку через колебания. Вили, Нью-Йорк. ISBN  978-0471024019.
4. Хакен, Х. (1983). Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к порядку через колебания. Берлин: Springer Verlag. ISBN  978-3-642-88338-5.
5. Del’Haye, P .; Schliesser, A .; Arcizet, O .; Wilken, T .; Holzwarth, R .; Киппенберг, Т. (2007). «Генерация оптической частотной гребенки из монолитного микрорезонатора». Природа. 450 (7173): 1214–1217. arXiv:0708.0611. Bibcode:2007Натура.450.1214D. Дои:10.1038 / природа06401. PMID  18097405.
6. Haelterman, M .; Trillo, S .; Вабниц, С. (1992). «Диссипативная модуляционная неустойчивость в кольцевом резонаторе с нелинейной дисперсией». Оптика Коммуникации. 91 (5–6): 401–407. Bibcode:1992OptCo..91..401H. Дои:10.1016 / 0030-4018 (92) 90367-Z.
7. Brambilla, M .; Castelli, F .; Gatti, A .; Lugiato, L.A .; Прати, Ф. (1993). «Неустойчивости и уменьшение квантового шума при нелинейно-оптическом смешивании». Протоколы SUSSP. 41: 115–136.
8. Гиббс, Х. (1985). Оптическая бистабильность: управление светом светом. Academic Press, Inc., Орландо, Флорида. ISBN  978-0122819407.
9. Гомила, Д .; Jacobo, A .; Matias, M.A .; Колет, П. (2007). «Фазово-пространственная структура двумерных возбудимых локализованных структур» (PDF). Физический обзор E. 75 (2): 026217. arXiv:nlin / 0703011. Bibcode:2007PhRvE..75b6217G. Дои:10.1103 / PhysRevE.75.026217. HDL:10261/6146. PMID  17358415.
10. Scroggie, A.J .; Ферт, W.J .; McDonald s, G.S .; Тлиди, М .; Lugiato, L.A .; Лефевер Р. (1994). «Формирование рисунка в пассивной полости Керра». Хаос, солитоны и фракталы. 4 (8–9): 1323–1354. Bibcode:1994CSF ..... 4.1323S. CiteSeerX  10.1.1.594.1475. Дои:10.1016/0960-0779(94)90084-1.
11. Лев, Ф .; Coen, S .; Kockaert, P .; Gorza, S.P .; Emplit, P .; Хельтерман, М. (2010). «Солитоны временного резонатора в одномерных средах Керра как биты в полностью оптическом буфере». Природа Фотоника. 4 (7): 471–476. Bibcode:2010НаФо ... 4..471л. Дои:10.1038 / nphoton.2010.120.
12. Bonifacio, R .; Лугиато, Л.А. (1978). «Неустойчивости когерентного поглотителя в кольцевой полости». Lettere al Nuovo Cimento. 21: 510–516. Дои:10.1007 / bf02763162.
13. Сегард, Б .; Маке, Б. (1988). «Самоимпульсный режим при собственной оптической бистабильности с двухуровневыми молекулами». Письма с физическими проверками. 60 (5): 412–415. Bibcode:1988ПхРвЛ..60..412С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.60.412. PMID  10038540.
14. Удем, Т .; Holzwarth, R .; Hänsch t, ​​T.W. (2002). «Метрология оптических частот». Природа. 416 (6877): 233–237. Bibcode:2002Натура.416..233U. Дои:10.1038 / 416233a. PMID  11894107.
15. Джонс, Д.Дж .; Diddams, S.A .; Ранка, J.K .; Stentz, A .; Windeler, R.S .; Hall, J.L .; Курдифф, С. (2000). "Управление фазой несущей и огибающей фемтосекундных лазеров с синхронизацией мод и прямой оптический синтез частоты". Наука. 288 (5466): 635–639. Bibcode:2000Sci ... 288..635J. Дои:10.1126 / science.288.5466.635. PMID  10784441.
16. Herr, T .; Городецкий, М.Л .; Киппенберг, Т. (2015). "Глава 6: Диссипативные солитоны Керра в оптических микрорезонаторах". В Грелу, Филипп (ред.). Нелинейная динамика оптического резонатора: от микрорезонаторов до волоконных лазеров. Wiley ‐ VCH Verlag GmbH. С. 129–162. arXiv:1508.04989. Дои:10.1002 / 9783527686476.ch6. ISBN  9783527413324.
17. Чембо, Ю.К. (2016). «Оптические гребенки Керра: теория, приложения и перспективы». Нанофотоника. 5 (2): 214–230. Bibcode:2016Nanop ... 5 ... 13C. Дои:10.1515 / nanoph-2016-0013.
18. Herr, T .; Brasch, V .; Jost, J.D .; Wang, C.Y .; Кондратьев, Н.М .; Городецкий, М.Л .; Киппенберг, Т. (2014). «Временные солитоны в оптических микрорезонаторах». Природа Фотоника. 8 (2): 145–152. arXiv:1211.0733. Bibcode:2014НаФо ... 8..145ч. Дои:10.1038 / nphoton.2013.343.
19. Мацко, А.Б .; Савченков, А.А .; Liang, W .; Ильченко, В.С .; Зайдель, Д .; Малеки, Л. (2011). «Частотные гребни Керра с синхронизацией режима». Письма об оптике. 36 (15): 2845–7. Bibcode:2011OptL ... 36,2845M. Дои:10.1364 / OL.36.002845. PMID  21808332.
20. Herr, T .; Brasch, V .; Городецкий, М.Л .; Киппенберг, Т. (2012). «Солитонная синхронизация мод в оптических микрорезонаторах». arXiv:1211.0733v1 [физика. оптика ] (версия arXiv ссылки 18)
21. Chembo, Y.K .; Менюк, К.Р. (2013). "Пространственно-временной формализм Луджиато-Лефевера для генерации гребенки Керра в резонаторах типа шепчущей галереи". Физический обзор A. 87 (5): 053852. arXiv:1210.8210. Bibcode:2013PhRvA..87e3852C. Дои:10.1103 / PhysRevA.87.053852.
22. Coen, S .; Randle, H.G .; Сильвестр, Т .; Эркинтало, М. (2013). «Моделирование частотных гребенок Керра с охватом октавы с использованием обобщенной модели Луджиато Лефевера среднего поля». Письма об оптике. 38 (1): 37–39. arXiv:1211.1697. Bibcode:2013OptL ... 38 ... 37C. Дои:10.1364 / OL.38.000037. PMID  23282830.
23. Lugiato, L.A .; Кастелли, Ф. (1992). «Квантовое шумоподавление в пространственной диссипативной структуре». Письма с физическими проверками. 68 (22): 3284–3286. Bibcode:1992ПхРвЛ..68.3284Л. Дои:10.1103 / PhysRevLett.68.3284. PMID  10045663.
24. Dutt, A .; Люк, К .; Manipatruni, S .; Gaeta, A.L .; Nussenzveig, P .; Липсон, М. (2015). «Встроенное оптическое сжатие». Применена физическая проверка. 3 (4): 044005. arXiv:1309.6371. Bibcode:2015ПхРвП ... 3d4005D. Дои:10.1103 / PhysRevApplied.3.044005.
25. Gatti, A .; Brambilla, E .; Лугиато, Л.А. (2008). Вольф, Э. (ред.). Квантовое изображение. Прогресс в оптике. LI. С. 251–348. Дои:10.1016 / S0079-6638 (07) 51005-X. ISBN  9780444532114.
26. Колобов, М. (1999). «Пространственное поведение неклассического света». Обзоры современной физики. 71 (5): 1539–1589. Bibcode:1999РвМП ... 71.1539К. Дои:10.1103 / RevModPhys.71.1539.
27. Lugiato, L.A .; Prati, F .; Брамбилла, М. (2015). «Глава 28: Модель Лугиато Лефевера». Нелинейные оптические системы. Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / CBO9781107477254.032. ISBN  9781107477254.
28. Castelli, F .; Brambilla, M .; Gatti, M .; Prati, F .; Лугиато, Л.А. (2017). «LLE, формирование паттернов и новый когерентный источник» (PDF). Европейский физический журнал D. 71 (4): 84. Bibcode:2017EPJD ... 71 ... 84C. Дои:10.1140 / epjd / e2017-70754-1.
29. Lugiato, L.A .; Prati, F .; Городецкий, М.Л .; Киппенберг, Т. «От ЛЛЭ к солитонным гребенкам Керра на основе микрорезонаторов». Философские труды Лондонского королевского общества A.