Теорема Ляпунова – Малкина. - Lyapunov–Malkin theorem

В Теорема Ляпунова – Малкина. (назван в честь Александр Ляпунов и Иоэль Малкин [RU ]) - математическая теорема, описывающая нелинейную устойчивость систем.^[1][2]

Теорема

В системе дифференциальные уравнения,

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+X(x,y),\quad {\dot {y}}=Y(x,y)}$

куда, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$, ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle A}$ в м × м матрица, и Икс(Икс, у), Y(Икс, у) представляют собой нелинейные члены более высокого порядка. Я упал собственные значения матрицы ${\displaystyle A}$ иметь отрицательные реальные части, и Икс(Икс, у), Y(Икс, у) исчезают, когда Икс = 0, то решение Икс = 0, у = 0 этой системы устойчиво относительно (Икс, у) и асимптотически устойчива относительноИкс. Если решение (Икс(т), у(т)) достаточно близко к решению Икс = 0, у = 0, то

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }x(t)=0,\quad \lim _{t\to \infty }y(t)=c.}$

Пример

Рассмотрим векторное поле, заданное формулой

${\displaystyle {\dot {x}}=-x+x^{2}y,\quad {\dot {y}}=xy^{2}}$

В этом случае, А = -1 и Икс(0, у) = Y(0, у) = 0 для всех у, поэтому эта система удовлетворяет гипотезе теоремы Ляпунова-Малкина.

На рисунке ниже показан график этого векторного поля вместе с некоторыми траекториями, проходящими вблизи точки (0,0). Как и следовало ожидать по теореме, видно, что траектории в окрестности (0,0) сходятся к точке вида (0,c).

Рекомендации

1. Зенков, Д. В .; Блох, А. М .; Марсден, Дж. Э. (2002). «Теорема Ляпунова – Малкина и стабилизация одноколесного велосипеда» (PDF). Системы и контрольные письма. 45 (4): 293–302. Дои:10.1016 / S0167-6911 (01) 00187-6.
2. Блох, Энтони; Кришнапрасад, Перинкулам Самбамурти; Мюррей, Р. М. (2015). Неголономная механика и управление (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN  9781493930173. OCLC  932167031.