Редукция Ляпунова – Шмидта. - Lyapunov–Schmidt reduction

В математике Редукция Ляпунова – Шмидта. или Конструкция Ляпунова – Шмидта. используется для исследования решений нелинейных уравнений в случае, когда теорема о неявной функции не работает. Он позволяет свести бесконечномерные уравнения в банаховых пространствах к конечномерным. Он назван в честь Александр Ляпунов и Эрхард Шмидт.

Настройка проблемы

Позволять

${\displaystyle f(x,\lambda )=0\,}$

- заданное нелинейное уравнение, ${\displaystyle X,\Lambda ,}$ и ${\displaystyle Y}$ находятсяБанаховы пространства (${\displaystyle \Lambda }$ - пространство параметров). ${\displaystyle f(x,\lambda )}$ это${\displaystyle C^{p}}$-карта из окрестностей некоторой точки ${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})\in X\times \Lambda }$ к${\displaystyle Y}$ и в этой точке выполняется уравнение

${\displaystyle f(x_{0},\lambda _{0})=0.}$

Для случая, когда линейный оператор ${\displaystyle f_{x}(x,\lambda )}$ обратима, теорема о неявной функции уверяет, что существует решение ${\displaystyle x(\lambda )}$ удовлетворяющий уравнению ${\displaystyle f(x(\lambda ),\lambda )=0}$ по крайней мере, локально близко к ${\displaystyle \lambda _{0}}$.

В противном случае, когда линейный оператор ${\displaystyle f_{x}(x,\lambda )}$ необратима, редукцию Ляпунова – Шмидта можно применить следующим образом.

Предположения

Предполагается, что оператор ${\displaystyle f_{x}(x,\lambda )}$ это Фредгольмов оператор.

${\displaystyle \ker f_{x}(x_{0},\lambda _{0})=X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{1}}$ имеет конечную размерность.

В классифицировать этого оператора ${\displaystyle \mathrm {ran} f_{x}(x_{0},\lambda _{0})=Y_{1}}$ имеет конечный совместное измерение и - замкнутое подпространство в ${\displaystyle Y}$.

Без ограничения общности можно считать, что ${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})=(0,0).}$

Конструкция Ляпунова – Шмидта.

Давайте разделим ${\displaystyle Y}$ в прямой продукт ${\displaystyle Y=Y_{1}\oplus Y_{2}}$, куда ${\displaystyle \dim Y_{2}<\infty }$.

Позволять ${\displaystyle Q}$ быть оператор проекции на ${\displaystyle Y_{1}}$.

Рассмотрим также прямой продукт ${\displaystyle X=X_{1}\oplus X_{2}}$.

Применение операторов ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle I-Q}$ к исходному уравнению, получаем эквивалентную систему

${\displaystyle Qf(x,\lambda )=0\,}$

${\displaystyle (I-Q)f(x,\lambda )=0\,}$

Позволять ${\displaystyle x_{1}\in X_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}\in X_{2}}$, то первое уравнение

${\displaystyle Qf(x_{1}+x_{2},\lambda )=0\,}$

можно решить относительно ${\displaystyle x_{2}}$ применяя теорему о неявной функции к оператору

${\displaystyle Qf(x_{1}+x_{2},\lambda ):\quad X_{2}\times (X_{1}\times \Lambda )\to Y_{1}\,}$

(теперь условия теоремы о неявной функции выполнены).

Таким образом, существует единственное решение ${\displaystyle x_{2}(x_{1},\lambda )}$ удовлетворение

${\displaystyle Qf(x_{1}+x_{2}(x_{1},\lambda ),\lambda )=0.\,}$

Теперь подставляем ${\displaystyle x_{2}(x_{1},\lambda )}$ во второе уравнение получаем окончательное конечномерное уравнение

${\displaystyle (I-Q)f(x_{1}+x_{2}(x_{1},\lambda ),\lambda )=0.\,}$

Действительно, последнее уравнение теперь конечномерно, так как диапазон значений ${\displaystyle (I-Q)}$ конечномерна. Теперь это уравнение необходимо решить относительно ${\displaystyle x_{1}}$, которая является конечномерной, и параметры:${\displaystyle \lambda }$

Приложения

Редукция Ляпунова – Шмидта используется в экономике, естествознании и технике.^[1] часто в сочетании с теория бифуркации, теория возмущений, и регуляризация.^[1][2][3] Снижение LS часто используется для строгой регуляризации уравнение в частных производных модели в химическая инженерия в результате модели, которые легче моделировать численно но при этом сохраните все параметры исходной модели.^[3][4][5]

Рекомендации

1. Сидоров, Николай (2011). Методы Ляпунова-Шмидта в нелинейном анализе и приложениях. Springer. ISBN  9789048161508. OCLC  751509629.
2. Голубицкий, Мартин; Шеффер, Дэвид Г. (1985), «Бифуркация Хопфа», Прикладные математические науки, Springer New York, стр. 337–396, Дои:10.1007/978-1-4612-5034-0_8, ISBN  9781461295334
3. Гупта, Анкур; Чакраборти, Сайкат (январь 2009 г.). «Линейный анализ устойчивости высоко- и низкоразмерных моделей для описания формирования структуры с ограниченным перемешиванием в гомогенных автокаталитических реакторах». Журнал химической инженерии. 145 (3): 399–411. Дои:10.1016 / j.cej.2008.08.025. ISSN  1385-8947.
4. Балакотайя, Вемури (март 2004 г.). «Усредненные гиперболические модели для описания эффектов дисперсии в хроматографах и реакторах». Корейский журнал химической инженерии. 21 (2): 318–328. Дои:10.1007 / bf02705415. ISSN  0256-1115.
5. Гупта, Анкур; Чакраборти, Сайкат (19 января 2008 г.). «Динамическое моделирование образования узора с ограниченным перемешиванием в гомогенных автокаталитических реакциях». Химический продукт и моделирование процессов. 3 (2). Дои:10.2202/1934-2659.1135. ISSN  1934-2659.

Библиография

• Луи Ниренберг, Темы нелинейного функционального анализа, New York Univ. Конспект, 1974.
• Александр Ляпунов, Sur les fig d’équilibre peu différents des ellipsoides d’une masse liquide homogène douée d’un mouvement de Rotation, Zap. Акад. СПб. (1906), 1–225.
• Александр Ляпунов, Problème général de la stabilité du mouvement, Ann. Фак. Sci. Тулуза 2 (1907), 203–474.
• Эрхард Шмидт, Zur Theory der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, 3 Teil, Math. Аннален 65 (1908), 370–399.