Водяное колесо Malkus - Malkus waterwheel - Wikipedia

Воспроизвести медиа

Компьютерное моделирование двух водяных колес Malkus с различными начальное состояние. Хотя начальный угол ${\displaystyle \theta _{0}}$ отличается между колесами всего на 1 градус, траектории нанесенных на график центров масс в конечном итоге сильно расходятся.

Сюжеты траектории из центры масс двух вышеуказанных колес, левого и правого соответственно, через такой же продолжительный период времени. В каждом сюжете центр масс ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{2}}$ это вектор ${\displaystyle (M_{x},M_{y})^{T}}$, куда ${\displaystyle M_{x}}$ и ${\displaystyle M_{y}}$ являются ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ компоненты соответственно. Система действительно, кажется, сильно зависит от начальных условий, что является определяющим свойством хаотических систем; кроме того, два аттракторы системы видны на обоих графиках.

В Водяное колесо Malkus, также называемый Водяное колесо Лоренца или же хаотическое водяное колесо,^[1] это механическая модель, которая демонстрирует хаотичный динамика. Его движение регулируется Уравнения Лоренца. В то время как классические водяные колеса вращаются в одном направлении с постоянной скоростью, водяное колесо Malkus демонстрирует хаотическое движение, при котором его вращение будет ускоряться, замедляться, останавливаться, менять направление и колебаться вперед и назад между комбинациями такого поведения непредсказуемым образом.

Этот вариант водяного колеса был разработан Виллемом Малкусом в 1960-х годах.^[2] В качестве педагогического инструмента водяное колесо Малкуса стало парадигматическим воплощением хаотической системы и широко используется в преподавании теории хаоса.^[3]

Помимо педагогического использования, водяное колесо Malkus активно изучается исследователями динамических систем и хаоса.^[4][5][6][7]

В водяном колесе Malkus постоянный поток воды вливается в верхнее ведро простого кругового симметричного водяного колеса, а в основании водяного колеса есть перфорация, позволяющая вытекать воде. При низкой скорости притока колесо постоянно катится в одном и том же направлении. При более высоких скоростях притока водяное колесо входит в хаотический режим, при котором оно меняет направление своего движения, ускоряется и замедляется явно непредсказуемым образом. Дальнейшее увеличение набегающего потока заставляет водяное колесо возвращаться в периодическое состояние, когда оно колеблется вперед и назад с фиксированными интервалами. С момента первого предложения многие экспериментальные и реальные приложения были связаны с динамикой водяного колеса. К ним относятся такие примеры, как динамика электровращения, халинный океанический поток и конвекция Рэлея-Бенара.^[8]

Рекомендации

1. Строгац, Стивен (2001). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике. Westview Press. ISBN  978-0738204536.
2. MIT News (8 июня 2016 г.). «Виллем Малкус, заслуженный профессор математики, умер в возрасте 92 лет». Получено 8 июня, 2016.
3. Лоренц, Эдвард (1995). Сущность Хаоса. Пресса Вашингтонского университета.
4. Коларж, Мирослав; Гамбс, Годфри (1992). «Теория экспериментального наблюдения хаоса во вращающемся водяном колесе». Физический обзор A. 45 (2): 626. Дои:10.1103 / PhysRevA.45.626. PMID  9907027.
5. Мишра, Аашвин; Санги, Санджив (2006). «Исследование асимметричного водяного колеса Малкуса: смещенные уравнения Лоренца». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки. 16 (1): 013114. Дои:10.1063/1.2154792. PMID  16599745.
6. Матсон, Лесли (2007). «Возвращение к водяному колесу Малкуса – Лоренца». Американский журнал физики. 75 (12): 1114–1122. Дои:10.1119/1.2785209.
7. Акинлар, Мехмет; Чьер, Файруз; Мустафа, Инк. (2020). «Управление хаосом и решения модели водяного колеса Малкуса дробного порядка». Хаос, солитоны и фракталы. 135 (2): 109746. Дои:10.1016 / j.chaos.2020.109746.
8. Алонсо, Дэвид Бесерра (2010). Детерминированный хаос в водяном колесе Малкуса (Кандидат наук). Университет Запада Шотландии.