Центральная предельная теорема Мартингейла - Martingale central limit theorem

В теория вероятности, то Центральная предельная теорема говорит, что при определенных условиях сумма многих независимые одинаково распределенные случайные величины при соответствующем масштабировании сходится в распределении к стандарту нормальное распределение. В центральная предельная теорема мартингала обобщает этот результат для случайных величин на мартингалы, которые случайные процессы где изменение стоимости процесса от времени т ко времени т +1 есть ожидание ноль, даже с учетом предыдущих результатов.

утверждение

Вот простая версия центральной предельной теоремы мартингала: Пусть

${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots \,}$ - быть мартингалом с ограниченными приращениями, т. е. предположить

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t+1}-X_{t}\vert X_{1},\dots ,X_{t}]=0\,,}$

и

${\displaystyle |X_{t+1}-X_{t}|\leq k}$

почти наверняка для некоторой фиксированной границы k и все т. Также предположим, что ${\displaystyle |X_{1}|\leq k}$ почти наверняка.

Определить

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\operatorname {E} [(X_{t+1}-X_{t})^{2}|X_{1},\ldots ,X_{t}],}$

и разреши

${\displaystyle \tau _{\nu }=\min \left\{t:\sum _{i=1}^{t}\sigma _{i}^{2}\geq \nu \right\}.}$

потом

${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}}$

сходится по распределению к нормальному распределению со средним 0 и дисперсией 1 как ${\displaystyle \nu \to +\infty \!}$. Более конкретно,

${\displaystyle \lim _{\nu \to +\infty }\operatorname {P} \left({\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}<x\right)=\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du,\quad x\in \mathbb {R} .}$

Сумма дисперсий должна расходиться до бесконечности.

Формулировка приведенного выше результата неявно предполагает, что сумма дисперсий равна бесконечности, поэтому с вероятностью 1 выполняется следующее:

${\displaystyle \sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty }$

Это гарантирует, что с вероятностью 1:

${\displaystyle \tau _{v}<\infty ,\forall v\geq 0}$

Это условие нарушается, например, мартингалом, который почти наверняка всегда равен нулю.

Интуиция на результат

Результат можно интуитивно понять, записав соотношение в виде суммы:

${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{v}}}{\sqrt {v}}}={\frac {X_{1}}{\sqrt {v}}}+{\frac {1}{\sqrt {v}}}\sum _{i=1}^{\tau _{v}-1}(X_{i+1}-X_{i}),\forall \tau _{v}\geq 1}$

Первый член в правой части асимптотически сходится к нулю, а второй член качественно аналогичен формуле суммирования для центральной предельной теоремы в более простом случае i.i.d. случайные переменные. Хотя члены в приведенном выше выражении не обязательно являются i.i.d., они не коррелированы и имеют нулевое среднее. Действительно:

${\displaystyle E[(X_{i+1}-X_{i})]=0,\forall i\in \{1,2,3,...\}}$

${\displaystyle E[(X_{i+1}-X_{i})(X_{j+1}-X_{j})]=0,\forall i\neq j,i,j\in \{1,2,3,...\}}$

использованная литература

Многие другие варианты центральной предельной теоремы мартингала можно найти в:

• Холл, Питер; К. К. Хейде (1980). Теория пределов Мартингейла и ее применение. Нью-Йорк: Academic Press. ISBN  0-12-319350-8.
• По поводу обсуждения там теоремы 5.4 и правильной формы следствия 5.3 (ii) см. Брэдли, Ричард (1988). «О некоторых результатах М.И. Гордина: разъяснение недоразумения». Журнал теоретической вероятности. Springer. 1 (2): 115–119. Дои:10.1007 / BF01046930.