Кинетика Михаэлиса – Ментен – Моно. - Michaelis–Menten–Monod kinetics

За Михаэлис – Ментен – Моно (М-м-м) кинетика он предназначен для связывания управляемой ферментами химической реакции Михаэлис-Ментен тип^[1] с Monod рост организмов, выполняющих химическую реакцию.^[2] Ферментативная реакция может быть концептуализирована как связывание фермента E с субстратом S с образованием промежуточного комплекса C, который высвобождает продукт реакции P и неизмененный фермент E. Во время метаболического потребления S образуется биомасса B, который синтезирует фермент, тем самым возвращаясь к химической реакции. Эти два процесса можно выразить как

${\displaystyle {\ce {{S}+ {E}<=>[{k}_{1}][{k}_{-1}] {C}->[{k}] {P}+ {E}}}}$

(1)

${\displaystyle {\ce {{S}->[{Y}] {B}->[{z}] {E}}}}$

(2)

куда ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{-1}}$ - константы скорости прямого и обратного равновесия, ${\displaystyle k}$ - константа скорости реакции выхода продукта, ${\displaystyle Y}$ - коэффициент выхода биомассы, а ${\displaystyle z}$ - коэффициент выхода фермента.

Переходная кинетика

Кинетические уравнения, описывающие указанные выше реакции, могут быть получены из ГЕБИК уравнения^[3] и записываются как

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[S]}{{\text{d}}t}}=-k_{1}[S][E]+k_{-1}[C],}$

(3а)

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[C]}{{\text{d}}t}}=k_{1}[S][E]-k_{-1}[C]-k[C],}$

(3b)

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[P]}{{\text{d}}t}}=k[C],}$

(3c)

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[B]}{{\text{d}}t}}=-Y{\frac {{\text{d}}[S]}{{\text{d}}t}}-\mu _{B}[B],}$

(3D)

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[E]}{{\text{d}}t}}=-zY{\frac {{\text{d}}[S]}{{\text{d}}t}}-{\frac {{\text{d}}[C]}{{\text{d}}t}}-\mu _{E}[E],}$

(3e)

куда ${\displaystyle \mu _{B}}$ - коэффициент смертности биомассы и ${\displaystyle \mu _{E}}$ скорость разложения фермента. Эти уравнения описывают полную кинетику переходных процессов, но обычно не могут быть ограничены экспериментами, потому что комплекс C трудно измерить, и нет четкого консенсуса относительно того, существует ли он на самом деле.

Квазистационарная кинетика

Уравнения 3 можно упростить, используя приближение квазистационарного состояния (QSS), то есть для ${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[C]}{{\text{d}}t}}=0}$;^[4] под QSS кинетические уравнения, описывающие проблему МПМ, становятся

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[S]}{{\text{d}}t}}=-k[E]{\frac {[S]}{K+[S]}},}$

(4а)

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[P]}{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}[S]}{{\text{d}}t}},}$

(4b)

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[B]}{{\text{d}}t}}=-Y{\frac {{\text{d}}[S]}{{\text{d}}t}}-\mu _{B}[B],}$

(4c)

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[E]}{{\text{d}}t}}=-zY{\frac {{\text{d}}[S]}{{\text{d}}t}}-\mu _{E}[E],}$

(4d)

куда ${\displaystyle K=(k_{-1}+k)/k_{1}}$ это Константа Михаэлиса-Ментен (также известный как концентрация полунасыщения и сродство).

Неявное аналитическое решение

Если предположить, что фермент вырабатывается со скоростью, пропорциональной производству биомассы, и разлагается со скоростью, пропорциональной смертности биомассы, то уравнения 4 можно переписать как

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[P]}{{\text{d}}t}}=k[E]{\frac {[S]}{K+[S]}},}$

(4а)

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[S]}{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}[P]}{{\text{d}}t}},}$

(4b)

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[B]}{{\text{d}}t}}=Y{\frac {{\text{d}}[P]}{{\text{d}}t}}-\mu _{B}[B],}$

(4c)

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[E]}{{\text{d}}t}}=-z{\frac {{\text{d}}[B]}{{\text{d}}t}},}$

(4d)

куда ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$ являются явной функцией времени ${\displaystyle t}$. Обратите внимание, что уравнение. (4b) и (4d) линейно зависят от уравнений. (4a) и (4c), которые представляют собой два дифференциальных уравнения, которые можно использовать для решения задачи MMM. Неявное аналитическое решение^[5] можно получить, если ${\displaystyle P}$ выбирается в качестве независимой переменной и ${\displaystyle t(P)}$, ${\displaystyle S(P)}$, ${\displaystyle E(P)}$ и ${\displaystyle B(P}$) переписываются как функции ${\displaystyle P}$ чтобы получить

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}t(P)}{{\text{d}}P}}=\left(kzB(P){\frac {S_{0}-P}{K+S_{0}-P}}\right)^{-1},}$

(5а)

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}B(P)}{{\text{d}}P}}=Y-\mu _{B}B(P){\frac {{\text{d}}t(P)}{{\text{d}}P}},}$

(5b)

куда ${\displaystyle S(t)}$ был заменен ${\displaystyle S(P)=S_{0}-P}$ согласно массовому балансу ${\displaystyle S_{0}+P_{0}=S+P}$, с начальным значением ${\displaystyle S_{0}=S(P)}$ когда ${\displaystyle P=P_{0}=0}$, и где ${\displaystyle E(t)}$ был заменен ${\displaystyle zB(P)}$ согласно линейной зависимости ${\displaystyle E=zB}$ выраженный формулой. (4г). Аналитическое решение уравнения. (5b) - это

${\displaystyle B(P)=B_{0}+\left(Y-{\frac {\mu _{B}}{kz}}\right)P+{\frac {\mu _{B}K}{kz}}\ln \left(1-{\frac {P}{S_{0}}}\right),}$

(6)

с начальной концентрацией биомассы ${\displaystyle B_{0}=B(P)}$ когда ${\displaystyle P=0}$. Чтобы избежать решения трансцендентной функции, полиномиальное разложение Тейлора до второго порядка по ${\displaystyle P}$ используется для ${\displaystyle B(P)}$ в уравнении. (6) как

${\displaystyle B(P)=B_{0}+\left(Y-{\frac {\mu _{B}}{zk}}-{\frac {\mu _{B}K}{zkS_{0}}}\right)P-{\frac {\mu _{B}K}{2zkS_{0}^{2}}}P^{2}+O(P^{3})}$

(7)

Подставляя уравнение. (7) в уравнение. (5a} и решение для ${\displaystyle t(P)}$ с начальным значением ${\displaystyle t(P=0)=0}$, получаем неявное решение для ${\displaystyle t(P)}$ в качестве

${\displaystyle t(P)=-{\frac {F'}{2}}\ln \left({\frac {{\sqrt {Q}}+2HP+M}{{\sqrt {Q}}-2HP-M}}\right)-{\frac {K}{2N'}}\ln \left({\frac {(S_{0}-P)^{2}}{HP^{2}+MP+N}}\right)+{\frac {F'}{2}}\ln \left({\frac {{\sqrt {Q}}+M}{{\sqrt {Q}}-M}}\right)-{\frac {K}{2N'}}\ln \left({\frac {S_{0}^{2}}{N}}\right).}$

(8)

с константами

${\displaystyle H=-\mu _{B}K/2S_{0}^{2}<0,}$

(9а)

${\displaystyle M=kzY-\mu _{B}-{\frac {\mu _{B}K}{S_{0}}},N=kzB_{0}>0,}$

(9b)

${\displaystyle M'=-(M+2HS_{0}),N'=N+MS_{0}+HS_{0}^{2}\neq 0,}$

(9c)

${\displaystyle -Q=4HN-M^{2}\neq 0,}$

(9d)

${\displaystyle F={\frac {2}{\sqrt {-Q}}}-{\frac {KM'}{N'{\sqrt {-Q}}}},F'={\frac {2}{\sqrt {Q}}}-{\frac {KM'}{N'{\sqrt {Q}}}},}$

(9e)

Для любого выбранного значения ${\displaystyle P}$, концентрация биомассы может быть рассчитана по формуле. (7) за раз ${\displaystyle t(P)}$ дается формулой. (8). Соответствующие значения ${\displaystyle S(P)=S_{0}-P}$ и ${\displaystyle E(P)=zB(P)}$ можно определить с помощью представленных выше балансов массы.

Смотрите также

• Кинетика ферментов
• Кинетика Михаэлиса – Ментен
• Monod
• ГЕБИК уравнения

Рекомендации

1. Michaelis, L .; Ментен, М. Л. (1913). "Die Kinetik der Invertinwirkung". Biochem Z. 49: 333–369
2. Монод Дж. (1949) Рост бактериальных культур. Анну. Rev. Microbial. 3, 371–394
3. Магги Ф. и В. Дж. Райли, (2010), Математическая обработка изотопологов и видообразования изотопомеров и фракционирование в биохимической кинетике, Геохим. Cosmochim. Acta, Дои:10.1016 / j.gca.2009.12.021
4. Briggs G.E .; Холдейн, Дж. Б. С., "Заметка о кинетике действия ферментов", textit {Biochem J.} textbf {1925}, textit {19 (2)}, 338–339.
5. Магги Ф. и Ла Сесилия Д., (2016), «Неявное аналитическое решение кинетики Михаэлиса-Ментен-Монода», Американское химическое общество, ACS Omega 2016, 1, 894-898, Дои:10.1021 / acsomega.6b00174