Структуры Michell - Michell structures

Структуры Michell являются структурами, оптимальными на основе критериев, определенных A.G.M. Мичелл в его часто цитируемой статье 1904 года.^[1]

Мичелл утверждает, что «Рама (сегодня называемая фермой) (является оптимальной) достигает предела экономии материала, возможного в любой раме-конструкции при одних и тех же приложенных силах, если пространство, занимаемое ею, может быть подвергнуто соответствующей небольшой деформации, так что деформации во всех брусках кадра увеличиваются на равные доли их длины, не менее, чем на дробное изменение длины любого элемента пространства ».

Приведенный выше вывод основан на теореме Максвелла о пути нагрузки:

${\displaystyle \sum _{}l_{p}f_{p}-\sum _{}l_{q}f_{q}=C}$

куда ${\displaystyle f_{p}}$ - величина натяжения в любом натяжном элементе длины ${\displaystyle l_{p}}$, ${\displaystyle f_{q}}$ значение сжатия в любом элементе сжатия длины ${\displaystyle l_{q}}$ и ${\displaystyle C}$ - постоянное значение, основанное на внешних нагрузках, приложенных к конструкции.

На основе теоремы Максвелла о пути нагрузки, уменьшающей путь нагрузки растягивающих элементов ${\displaystyle \textstyle \sum _{}l_{p}f_{p}}$ уменьшит на ту же величину путь нагрузки компрессионных элементов${\displaystyle \textstyle \sum _{}l_{q}f_{q}}$ для заданного набора внешних нагрузок. Конструкция с минимальным путем нагрузки - это конструкция с минимальным соответствие (с минимальным взвешенным прогибом в точках приложенных нагрузок, взвешенных по значениям этих нагрузок). Следовательно, конструкции Michell представляют собой фермы минимального соответствия.

Особые случаи

1. Все стержни фермы испытывают нагрузку одного знака (растяжение или сжатие).

Требуемый объем материала одинаков для всех возможных случаев при заданном наборе нагрузок. Michell определяет минимально необходимый объем материала:${\textstyle V_{m}={\frac {\sum _{}lf}{P}}}$

куда ${\displaystyle P}$ допустимое напряжение в материале.

2. Смешанные штанги растяжения и сжатия.

Более общий случай - это рамы, которые состоят из стержней, которые до и после соответствующей деформации образуют кривые ортогональных систем. Двумерная ортогональная система остается ортогональной после растяжения одной серии кривых и сжатия другой с равной деформацией тогда и только тогда, когда наклон между любыми двумя соседними кривыми одной и той же серии постоянен по всей их длине. Это требование приводит к тому, что перпендикулярная серия отверждений может быть:

а) системы касательных и эвольвенты или

б) системы пересекающихся логарифмические спирали.

Обратите внимание, что прямая линия или круг являются частными случаями логарифмическая спираль.

Примеры

Мичелл предоставил несколько примеров оптимальных рамок:

а	б	c	d	е
Одна сила F, приложенная к точке A и действующая под прямым углом к ​​линии AB	Одна сила F, приложенная к точке C, центрированная между опорами в точках A и B (решение для полного пространства)	Единственная сила F, приложенная к точке C, центрированная между опорами в точках A и B (полупространственное решение)	Балка с центральной нагрузкой, сила которой отклоняется от прямой линии между опорами. Конструкция аналогична примерам b и c.	Равные и противоположные пары нанесены в точках A, B на прямой AB. Минимальная рамка состоит из серии румба, наклоненных под углом 45 градусов к меридианам сферы, полюсы которой находятся в точках A и B.

Фермы Prager

В последние годы было проведено множество исследований дискретных оптимальных ферм.^[2][3][4] Несмотря на то, что фермы Michell определены для континуума (бесконечное количество элементов), их также иногда называют фермами Michell. Значительный вклад в тему дискретных оптимальных ферм внесли Уильям Прагер которые использовали метод окружности относительных смещений для получения оптимальной топологии таких ферм (обычно консольных). Распознавать Прагера Вкладные дискретные фермы Michell иногда называют фермами Прагера. Позднее геометрия консольных ферм Прагера была формализована Мазуреком, Бейкер и Tort ^[5][6] которые заметили определенные геометрические соотношения между элементами оптимальных дискретных ферм для 3-точечных или 3-х силовых задач.

использованная литература

1. Мичелл, А.Г.М. (1904) Пределы экономии материала в каркасных конструкциях, Философский журнал, Vol. 8 (47), с. 589-597.
2. Прагер В., Заметка о дискретных структурах Michell, компьютерных методах в прикладной механике и технике, Vol. 3. С. 349-355, 1974.
3. Прагер В. Оптимальная компоновка консольных ферм, Journal of Optimization Theory and Applications (1977) 23: 111. https://doi.org/10.1007/BF00932301
4. Прагер В. Практически оптимальная конструкция ферм, компьютеров и конструкций, ISSN  0045-7949, Том: 8, Выпуск: 3, Страница: 451-454, 1978
5. Мазурек, А., Бейкер В.Ф. И Торт К. Геометрические аспекты оптимальных ферменных конструкций, Структурная и многопрофильная оптимизация (2011) 43: 231. https://doi.org/10.1007/s00158-010-0559-x
6. Мазурек А. Геометрические аспекты оптимальных ферменных конструкций для задачи трех сил, Структурная и междисциплинарная оптимизация (2012) 45: 21. https://doi.org/10.1007/s00158-011-0679-y