Метод Милна-Томсона для поиска голоморфной функции - Milne-Thomson method for finding a holomorphic function

В математике Метод Милна-Томсона это метод поиска голоморфная функция чья действительная или мнимая часть дана.^[1] Он назван в честь Луи Мелвилл Милн-Томсон.

Вступление

Позволять ${\displaystyle z=x+iy}$ и ${\displaystyle {\bar {z}}\ =x-iy}$ куда ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ находятся настоящий.

Позволять ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$ быть любым голоморфная функция.

Пример 1: ${\displaystyle z^{4}=(x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4})+i(4x^{3}y-4xy^{3})}$

Пример 2: ${\displaystyle \exp(iz)=\cos(x)\exp(-y)+i\sin(x)\exp(-y)}$

В своей статье^[1], Милн-Томсон рассматривает проблему нахождения ${\displaystyle f(z)}$ когда 1. ${\displaystyle u(x,y)}$ и ${\displaystyle v(x,y)}$ даны, 2. ${\displaystyle u(x,y)}$ дан и ${\displaystyle f(z)}$ реально на действительной оси, 3. только ${\displaystyle u(x,y)}$ дается, 4. только ${\displaystyle v(x,y)}$ дано. Его действительно интересуют проблемы 3 и 4, но ответы на более простые проблемы 1 и 2 необходимы для доказательства ответов на проблемы 3 и 4.

1^ул проблема

Проблема: ${\displaystyle u(x,y)}$ и ${\displaystyle v(x,y)}$ известны; что ${\displaystyle f(z)}$?

Отвечать: ${\displaystyle f(z)=u(z,0)+iv(z,0)}$

На словах: голоморфная функция ${\displaystyle f(z)}$ можно получить, положив ${\displaystyle x=z}$ и ${\displaystyle y=0}$ в ${\displaystyle u(x,y)+iv(x,y)}$.

Пример 1: с ${\displaystyle u(x,y)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}}$ и ${\displaystyle v(x,y)=4x^{3}y-4xy^{3}}$ мы получаем ${\displaystyle f(z)=z^{4}}$.

Пример 2: с ${\displaystyle u(x,y)=\cos(x)\exp(-y)}$ и ${\displaystyle v(x,y)=\sin(x)\exp(-y)}$ мы получаем ${\displaystyle f(z)=\cos(z)+i\sin(z)=\exp(iz)}$.

Доказательство:

Из первой пары определений ${\displaystyle x={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}}$ и ${\displaystyle y={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}}$.

Следовательно ${\displaystyle f(z)=u\left({\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\ ,{\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}\right)+iv\left({\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\ ,{\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}\right)}$.

Это личность, даже когда ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ не настоящие, т.е. две переменные ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle {\bar {z}}\ }$ можно считать независимым. Положив ${\displaystyle {\bar {z}}=z}$ мы получили ${\displaystyle f(z)=u(z,0)+iv(z,0)}$.

2^nd проблема

Проблема: ${\displaystyle u(x,y)}$ известен, ${\displaystyle v(x,y)}$ неизвестно, ${\displaystyle f(x+i0)}$ реально; что ${\displaystyle f(z)}$?

Отвечать: ${\displaystyle f(z)=u(z,0)}$.

Здесь применим только пример 1: с ${\displaystyle u(x,y)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}}$ мы получаем ${\displaystyle f(z)=z^{4}}$.

Доказательство: "${\displaystyle f(x+i0)}$ реально "означает ${\displaystyle v(x,0)=0}$. В этом случае ответ на проблему 1 становится ${\displaystyle f(z)=u(z,0)}$.

3^rd проблема

Проблема: ${\displaystyle u(x,y)}$ известен, ${\displaystyle v(x,y)}$ неизвестно; что ${\displaystyle f(z)}$?

Отвечать: ${\displaystyle f(z)=u(z,0)-i\int u_{y}(z,0)dz}$ (куда ${\displaystyle u_{y}(x,y)}$ является частной производной от ${\displaystyle u(x,y)}$ относительно ${\displaystyle y}$).

Пример 1: с ${\displaystyle u(x,y)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}}$ и ${\displaystyle u_{y}(x,y)=-12x^{2}y+4y^{3}}$ мы получаем ${\displaystyle f(z)=z^{4}+iC}$ с реальным, но неопределенным ${\displaystyle C}$.

Пример 2: с ${\displaystyle u(x,y)=\cos(x)\exp(-y)}$ и ${\displaystyle u_{y}(x,y)=-\cos(x)\exp(-y)}$ мы получаем ${\displaystyle f(z)=\cos(z)+i\int \cos(z)dz=\cos(z)+i(\sin(z)+C)=\exp(iz)+iC}$.

Доказательство: Это следует из ${\displaystyle f(z)=u(z,0)+i\int v_{x}(z,0)dz}$ и 2^nd Уравнение Коши-Римана ${\displaystyle u_{y}(x,y)=-v_{x}(x,y)}$.

4^th проблема

Проблема: ${\displaystyle u(x,y)}$ неизвестно, ${\displaystyle v(x,y)}$ известен; что ${\displaystyle f(z)}$?

Отвечать: ${\displaystyle f(z)=\int v_{y}(z,0)dz+iv(z,0)}$.

Пример 1: с ${\displaystyle v(x,y)=4x^{3}y-4xy^{3}}$ и ${\displaystyle v_{y}(x,y)=4x^{3}-12xy^{2}}$ мы получаем ${\displaystyle f(z)=\int 4z^{3}dz+i0=z^{4}+C}$ с реальным, но неопределенным ${\displaystyle C}$.

Пример 2: с ${\displaystyle v(x,y)=\sin(x)\exp(-y)}$ и ${\displaystyle v_{y}(x,y)=-\sin(x)\exp(-y)}$ мы получаем ${\displaystyle f(z)=-\int \sin(z)dz+i\sin(z)=\cos(z)+C+i\sin(z)=\exp(iz)+C}$.

Доказательство: Это следует из ${\displaystyle f(z)=\int u_{x}(z,0)dz+iv(z,0)}$ и 1^ул Уравнение Коши-Римана ${\displaystyle u_{x}(x,y)=v_{y}(x,y)}$.

Рекомендации

1. Милн-Томсон, Л. М. (июль 1937 г.). «1243. Об отношении аналитической функции z к ее действительной и мнимой частям». Математический вестник. 21 (244): 228. Дои:10.2307/3605404. JSTOR  3605404.