Минимальный многочлен (линейная алгебра) - Minimal polynomial (linear algebra)

В линейная алгебра, то минимальный многочлен $μ А$ из $п \times п$ матрица $А$ через поле $F$ это монический многочлен $п$ над $F$ наименьшей степени такой, что $п (А) = 0$ . Любой другой многочлен $Q$ с $Q (А) = 0$ является (полиномиальным) кратным $μ А$ .

Следующие три утверждения эквивалентны:

$λ$ это корень $μ А$ ,
$λ$ является корнем характеристический многочлен $χ А$ из $А$ ,
$λ$ является собственное значение матрицы $А$ .

Кратность корня $λ$ из $μ А$ самая большая сила $м$ такой, что $кер ((А - λI п) м)$ строго содержит $кер ((А - λI п) м -1)$ . Другими словами, увеличивая показатель степени до $м$ даст ядра все большего размера, но при дальнейшем увеличении степени за пределами $м$ просто даст такое же ядро.

Если поле $F$ не является алгебраически замкнутым, то минимальный и характеристический многочлены не нужно разложить на множители в соответствии с их корнями (в $F$ ) в одиночку, другими словами, они могут иметь неприводимый многочлен факторы степени выше, чем $1$ . Для неприводимых многочленов $п$ у одного есть аналогичные эквиваленты:

$п$ разделяет $μ А$ ,
$п$ разделяет $χ А$ ,
ядро $п (А)$ имеет размер не менее $1$ .
ядро $п (А)$ имеет размер не менее $град (п)$ .

Как и характеристический многочлен, минимальный многочлен не зависит от базового поля, другими словами, рассмотрение матрицы как матрицы с коэффициентами в большем поле не меняет минимальный многочлен. Причина несколько иная, чем для характеристического многочлена (где он непосредственно следует из определения определителей), а именно тот факт, что минимальный многочлен определяется соотношениями линейная зависимость между державами $А$ : расширение базового поля не приведет к появлению новых таких отношений (и, конечно, не удалит существующие).

Минимальный многочлен часто совпадает с характеристическим многочленом, но не всегда. Например, если $А$ является множественным $aI п$ единичной матрицы, то ее минимальный многочлен равен $Икс - а$ поскольку ядро $aI п - А = 0$ это уже все пространство; с другой стороны, его характеристический многочлен равен $(Икс - а) п$ (единственное собственное значение $а$ , а степень характеристического полинома всегда равна размерности пространства). Минимальный многочлен всегда делит характеристический многочлен, что является одним из способов формулировки Теорема Кэли – Гамильтона (для случая матриц над полем).

Формальное определение

Учитывая эндоморфизм $Т$ на конечномерном векторное пространство $V$ через поле $F$ , позволять $я Т$ множество, определенное как

{displaystyle {mathit {I}} _ {T} = {pin mathbf {F} [t] mid p (T) = 0}}

куда $F [т]$ - пространство всех многочленов над полем $F$ . $я Т$ это правильный идеал из $F [т]$ . С $F$ это поле, $F [т]$ это главная идеальная область, таким образом, любой идеал порождается одним многочленом, который уникален с точностью до единиц в $F$ . Можно сделать особый выбор среди генераторов, поскольку именно один из генераторов моник. В минимальный многочлен таким образом определяется как монический многочлен, который порождает $я Т$ . Это приведенный многочлен наименьшей степени от $я Т$ .

Приложения

An эндоморфизм $φ$ конечномерного векторного пространства над полем $F$ является диагонализуемый тогда и только тогда, когда его минимальные полиномиальные множители полностью превышают $F$ в отчетливый линейные факторы. Дело в том, что есть только один фактор $Икс - λ$ для каждого собственного значения $λ$ означает, что обобщенное собственное подпространство за $λ$ такой же, как собственное подпространство за $λ$ : каждый блок Джордана имеет размер $1$ . В более общем смысле, если $φ$ удовлетворяет полиномиальному уравнению $п (φ) = 0$ куда $п$ делится на отдельные линейные множители по $F$ , то он будет диагонализуемым: его минимальный многочлен является делителем $п$ и поэтому также учитывается в различных линейных факторах. В частности, есть:

$п = Икс k - 1$ : эндоморфизмы конечного порядка комплексных векторных пространств диагонализируемы. Для особого случая $k = 2$ из инволюции, это верно даже для эндоморфизмов векторных пространств над любым полем характеристика Кроме как $2$ , поскольку $Икс 2 - 1 = (Икс - 1)(Икс + 1)$ представляет собой факторизацию на отдельные факторы над таким полем. Это часть теория представлений циклических групп.
$п = Икс 2 - Икс = Икс (Икс - 1)$ : эндоморфизмы, удовлетворяющие $φ 2 = φ$ называются прогнозы, и всегда диагонализуемы (более того, их единственные собственные значения $0$ и $1$ ).
Напротив, если $μ φ = Икс k$ с $k \geq 2$ тогда $φ$ (нильпотентный эндоморфизм) не обязательно диагонализуем, поскольку $Икс k$ имеет повторяющийся корень $0$ .

Эти случаи также могут быть доказаны напрямую, но минимальный многочлен дает единую перспективу и доказательство.

Вычисление

Для вектора $v$ в $V$ определять:

{displaystyle {mathit {I}} _ {T, v} = {pin mathbf {F} [t]; |; p (T) (v) = 0}.}

Это определение удовлетворяет свойствам собственного идеала. Позволять $μ Т, v$ - порождающий его монический многочлен.

Характеристики

С $я Т, v$ содержит минимальный многочлен $μ Т$ , последняя делится на $μ Т, v$ .
Если $d$ наименьшее натуральное число такое, что $v, Т (v), ..., Т d (v)$ находятся линейно зависимый, то существуют уникальные $а 0, а 1, ..., а d -1$ в $F$ , не все нули, так что
${displaystyle a_ {0} v + a_ {1} T (v) + cdots + a_ {d-1} T ^ {d-1} (v) + T ^ {d} (v) = 0}$
и для этих коэффициентов имеем
${displaystyle mu _ {T, v} (t) = a_ {0} + a_ {1} t + ldots + a_ {d-1} t ^ {d-1} + t ^ {d}.}$
Пусть подпространство W быть изображением $μ Т, v (Т)$ , который $Т$ -стабильный. С $μ Т, v (Т)$ уничтожает по крайней мере векторы $v, Т (v), ..., Т d -1 (v)$ , то коразмерность из $W$ по крайней мере $d$ .
Минимальный многочлен $μ Т$ это продукт $μ Т, v$ и минимальный многочлен $Q$ ограничения $Т$ к $W$ . В (вероятном) случае $W$ имеет размер $0$ надо $Q = 1$ и поэтому $μ Т = μ Т, v$ ; в противном случае рекурсивное вычисление $Q$ достаточно найти $μ Т$ .

Пример

Определять $Т$ быть эндоморфизмом $р 3$ с матрицей, на канонической основе,

{displaystyle {egin {pmatrix} 1 & -1 & -1 1 & -2 & 1 0 & 1 & -3end {pmatrix}}.}

Взяв первый канонический базисный вектор $е 1$ и его повторяющиеся изображения $Т$ можно получить

{displaystyle e_ {1} = {egin {bmatrix} 1 0 0end {bmatrix}}, quad Tcdot e_ {1} = {egin {bmatrix} 1 1 0end {bmatrix}}. quad T ^ {2} cdot e_ {1} = {egin {bmatrix} 0 -1 1end {bmatrix}} {mbox {and}} quad T ^ {3} cdot e_ {1} = {egin {bmatrix} 0 3 -4end {bmatrix}}}

из которых первые три легко увидеть как линейно независимый, и, следовательно, охватить все $р 3$ . Последний из них обязательно является линейной комбинацией первых трех, на самом деле

Т 3 \cdot е 1 = -4 Т 2 \cdot е 1 - Т \cdot е 1 + е 1

,

так что:

μ Т, е 1 = Икс 3 + 4 Икс 2 + Икс - я

.

Фактически это также минимальный многочлен $μ Т$ и характеристический многочлен $χ Т$ : в самом деле $μ Т, е 1$ разделяет $μ Т$ который разделяет $χ Т$ , а поскольку первый и последний имеют степень $3$ и все моники, они все должны быть одинаковыми. Другая причина в том, что в общем случае любой многочлен от $Т$ уничтожает вектор $v$ , то он также аннигилирует $Т \cdot v$ (просто примените $Т$ к уравнению, которое говорит, что оно уничтожает $v$ ), и, следовательно, путем итерации он уничтожает все пространство, порожденное повторяющимися изображениями посредством $Т$ из $v$ ; в данном случае мы видели, что для $v = е 1$ это пространство все из $р 3$ , так $μ Т, е 1 (Т) = 0$ . Действительно, для полной матрицы проверяется, что $Т 3 + 4 Т 2 + Т - я 3$ это нулевая матрица:

{displaystyle {egin {bmatrix} 0 & 1 & -3 3 & -13 & 23 -4 & 19 & -36end {bmatrix}} + 4 {egin {bmatrix} 0 & 0 & 1 -1 & 4 & -6 1 & -5 & 10end {bmatrix}} + {egin {bmatrix} 1 & -1 & -1 1 & -2 & 1 0 & 1 & -3end {bmatrix}} + {egin {bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end {bmatrix }}}